НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

Содержание.

1. Введение. Постановка задачи……..…………………………2стр.

2. Вывод формулы……………………………………………….3стр.

3. Дополнительный член в формуле прямоугольников……….5стр.

4. Примеры………………………………………………………..7стр.

5. Заключение……………………………………………………..9стр.

6. Список литературы…………………………………………...10стр.

Постановка задачи.

Задача вычисления интегралов возникает во многих областях прикладной

математики. В большинстве случаев встречаются определённые интегралы от

функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции.

Кроме того, в приложениях приходится иметь дело с определёнными

интегралами, сами подынтегральные функции не являются элементарными.

Распространенными являются

также случаи, когда подынтегральная функция задается графиком или таблицей

экспериментально полученных значений. В таких ситуациях используют

различные методы численного интегрирования, которые основаны на том, что

интеграл представляется в виде предела интегральной суммы (суммы площадей),

и позволяют определить эту сумму с приемлемой точностью. Пусть требуется

вычислить интеграл [pic] при условии, что a и b конечны и f(x) является

непрерывной функцией на всем интервале (a, b). Значение интеграла I

представляет собой площадь, ограниченную кривой f(x),осью x и прямыми x=a,

x=b. Вычисление I проводится путем разбиения интервала от a до b на

множество меньших интервалов, приближенным нахождением площади каждой

полоски, получающейся при таком разбиении, и дальнейшем суммировании

площадей этих полосок.

Вывод формулы прямоугольников.

Прежде, чем перейти к формуле прямоугольников, сделаем следующее

замечание:

З а м е ч а н и е. Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [a, b], а

[pic] - некоторые точки сегмента [a, b]. Тогда на этом сегменте найдётся

точка [pic] такая, что среднее арифметическое [pic][pic][pic].

В самом деле, обозначим через m и M точные грани функции f(x) на

сегменте [a, b]. Тогда для любого номера k справедливы неравенства [pic].

Просуммировав эти неравенства по всем номерам [pic] и поделив результат на

n, получим

[pic]

Так как непрерывная функция принимает любое промежуточное значение,

заключённое между m и M, то на сегменте [a, b] найдётся точка [pic] такая,

что

[pic][pic][pic][pic].

Первые формулы для приближенного вычисления определённых интегралов

проще всего получаются из геометрических соображений. Истолковывая

определенный интеграл [pic] как площадь некоторой фигуры, ограниченной

кривой [pic], мы и ставим перед собой задачу об определении этой площади.

Прежде всего, вторично используя эту мысль, которая привела к самому

понятию об определенном интеграле, можно разбить всю фигуру (рис. 1) на

полоски, скажем, одной и той же ширины [pic], а затем каждую полоску

приближенно заменить прямоугольником, за высоту которого принята какая-либо

из ее ординат. Это приводит нас к формуле

[pic] (1)

где [pic] [pic], а R – дополнительный член. Здесь искомая площадь

криволинейной фигуры заменяется площадью некоторой состоящей из

прямоугольников ступенчатой фигуры (или – если угодно – определенный

интеграл заменяется интегральной суммой). Эта формула и называется формулой

прямоугольников.

[pic]

(рис.1)

На практике обычно берут [pic]; если соответствующую среднюю ординату

[pic] обозначить через [pic], то формула перепишется в виде

[pic].

Дополнительный член в формуле прямоугольников.

Перейдём к отысканию дополнительного члена в формуле прямоугольников.

Справедливо следующее утверждение:

У т в е р ж д е н и е. Если функция f(x) имеет на сегменте [a, b]

непрерывную вторую производную, то на этом сегменте найдётся такая точка

[pic], что дополнительный член R в формуле (1) равен

[pic] (2)

Доказательство.

Оценим [pic], считая, что функция f(x) имеет на сегменте [-h, h]

непрерывную вторую производную Для этого подвергнем двукратному

интегрированию по частям каждый из следующих двух интегралов:

[pic] [pic][pic]

Для первого из этих интегралов получим

[pic]

Для второго из интегралов аналогично получим

[pic]

Полусумма полученных для [pic] и [pic] выражений приводит к следующей

формуле:

[pic] (3)

Оценим величину [pic], применяя к интегралам [pic] и [pic] формулу

среднего значения и учитывая неотрицательность функций [pic] и [pic]. Мы

получим, что найдутся точка [pic] на сегменте [-h, 0] и точка [pic] на

сегменте

[0 ,h] такие, что

[pic] В силу доказанного замечания на сегменте [-h, h] найдётся точка

[pic] такая, что [pic]

Поэтому для полусуммы [pic] мы получим следующее выражение:

[pic]

Подставляя это выражение в равенство (3), получим, что

[pic] (4)

где

[pic] [pic]. (5)

Так как величина [pic] представляет собой площадь некоторого

прямоугольника с основанием [pic] (рис.1), то формулы (4) и (5) доказывают,

что ошибка, совершаемая при замене [pic] указанной площадью, имеет порядок

[pic]

Таким образом, формула [pic] тем точнее, чем меньше h. Поэтому для

вычисления интеграла [pic] естественно представить это интеграл в виде

суммы достаточно большого числа n интегралов

[pic]

И к каждому из указанных интегралов применить формулу (4). Учитывая при

этом, что длина сегмента [pic]