НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Уравнения математической физики, читаемым авторов на факультете Прикладная математика в МАИ

Уравнения математической физики, читаемым авторов на факультете Прикладная математика в МАИ

§ 1.Тема. Некоторые определения и обозначения.

Определение.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные

неизвестной функции. Если неизвестная функция зависит от одной переменной,

то это обыкновенное дифференциальное уравнение, иначе - уравнение в частных

производных.

Определение.

Наивысший порядок производных неизвестной функции, входящих в уравнение,

называется порядком уравнения.

Определение.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если производные и сама

неизвестная функция входят в уравнение линейным образом.

[pic] (1)

Пусть выбран любой[pic], где [pic], и его норма:

[pic]- дифференциальный оператор.

[pic] - запись линейного диф. уравнения с помощью диф. оператора.

(2)

Определение.

Открытое, связное множество [pic] называется областью.

По умолчанию будем считать область ограниченной.

Через [pic]или [pic] будем обозначать границу области.

Определение.

[pic] - (n-1)-мерное многообразие S в [pic] принадлежит классу [pic]

([pic]), если

для [pic] и [pic] такие, что:

[pic], где [pic]

[pic] однозначно проектируется на плоскость [pic], при этом:

D - проекция данного множества на плоскость [pic], [pic] - k раз непрерывно

дифференцируема в D по всем переменным.

[pic]

Можно разбить поверхность на части, в каждой части можно одну координату

выразить через другие непрерывно дифференцируемой функцией.

[pic] - множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в Q.

[pic] - множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в [pic].

[pic], аналогично [pic].

[pic] - множество финитных k раз непрерывно дифференцируемых функций.

Аналогично: [pic].

§ 2. Классификация линейных уравнений в частных производных второго

порядка.

[pic].

[pic] - матрица квадратичной формы.

[pic] - n вещественных собственных значений матрицы A

[pic] - количество положительных собственных значений.

[pic] - количество отрицательных собственных значений.

[pic] - количество нулевых собственных значений с учетом кратности.

1.Если [pic]= n или [pic]= n, то это эллиптическое уравнение.

Ex: Уравнение Пуассона

[pic].

2.Если