НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Несобственный интеграл

Несобственный интеграл

Несобственный интеграл.

Определение: Пусть. (

собственная или правая несобственная точка числовой прямой

Функция f: [a;()(R интегрируема по Риману на любом отрезке [a,b] ( [a, ( ).

Тогда, если существует (1):

То его величина обозначается (2)

и называется несобственным интегралом функции f по промежутку [a,( ).

Введем обозначение : f ( R^ - функция интегрируема по Риману в

несобственном смысле по промежутку .

Если предел (1) существует и равен конечному числу, то говорят,что данный

интеграл сходится. Если предел (1) не существует или равен бесконечности,

то говорят,что данный интеграл расходится. Обычный интеграл Римана (3)

называется собственным интегралом.Его значение

соответствует величине площади криволинейной трапеции (см. рисунок 1):

Y f(x)

a b

X

Если функция f неотрицательна и непрерывна на промежутке [a,b) (b

может быть бесконечным), то несобственный интеграл (4)

Равен площади неограниченного открытого множества

G={(x,y):a(R имеет на промежутке конечное число

особых точек и Т: a=k1, что на

каждом из,i=1(n,особой точкой функции является только одна из

концевых точек. Тогда, если каждый из интегралов (9):

cходится, то (10)

cходится. Если хотя бы один из (9) расходится,то и весь (10)

расходится.Действительно,расходимость хотя бы одного из участников суммы

(10) означает,что данный интеграл (9) либо имеет бесконечную величину (см.

пример 3,4),либо не имеет конкретного значения (см. пример 2),тем самым

обращая всю сумму (10) либо в бесконечность,либо лишая ее конкретного

значения.

Y

f(x)

0 a=k1 k2………ki…….kn-1

kn=b(+( в данном случае).

Рис.,поясняющий несобственный интеграл с несколькими особенностями

(9),(10).

Рассмотрим некоторые примеры:

Пример 1

По определению интеграл сходится и его величина равна (/4.То есть у площади

бесконечной криволинейной трапеции под графиком подынтегральной функции

существует предел.(см. рисунок 3):

Y

1

0 1 ( X

При мер 2

Не существует при b(( -