НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Некоторые Теоремы Штурма

Некоторые Теоремы Штурма

Быков В.В. bikov@rambler.ru

Содержание

Введение…………………………………………………………………………………………3

§1. Предварительные сведения……………………………………5

§2. Основные факты………………………………………………………………8

§3. Теоремы Штурма……………………………………………………………18

Использованная литература…………………………………………27

Введение

Тема дипломной работы “Теорема Штурма”, связана с именем французского

математика Жака Шарля Франсуа Штурма.

Штурм Жак Шарль Франсуа (Sturm J. Ch. F. – правильное произношение:

Стюрм), родился 29 сентября 1803 года в Женеве. Был членом Парижской

академии наук с 1836, а также иностранным членом – корреспондентом

Петербургской академии наук с того же года. С 1840 года был профессором

Политехнической школы в Париже.

Штурм (1824/25) и Раабе (1827) ввели главные формулы сферической

тригонометрии при помощи пространственных координат.

Теорему Фурье ( Теорема о числе действительных корней между двумя

данными пределами ), математика Жозефа Фурье (Joseph Fourier, 1768-1830),

затмила более общая теорема, опубликованная Штурмом в Bull. mathem., 1829.

Доказательство сам Штурм представил только в одной премированной работе

1835г. Коши Огюстен (Cauchy Augustin, 1789-1857) распространил теорему

Штурма на комплексные корни (1831). Дополнение к ней дал также Сильвестр

Джемс Джозеф (Sylvester Y.Y., 1814-1897) в 1839 году и позже.

Основные работы Жана Шарля Штурма относятся к решению краевых задач

уравнений математической физики и связанной с этим задачей о разыскивании

собственных значений и собственных функций для обыкновенных

дифференциальных уравнений. (Задача Штурма-Лиувилля, о нахождении отличных

от нуля решений дифференциальных уравнений :

-(p(t)u()(+q(t)u=(u,

удовлетворяющих граничным условиям вида:

А1u(a)+B1u((a)=0,

A2u(b)+B2u((b)=0,

(так называемых собственных функций), а также о нахождении значений

параметра ( (собственных значений), при которых существуют такие решения.

При некоторых условиях на коэффициенты p(t), q(t) задача Штурма-Лиувилля

сводилась к рассмотрению аналогичной задачи для уравнения вида:

-u((+q(x)u=(u).

Эта задача была впервые исследована Штурмом и Жозефом Лиувиллем (Joseph

Liouville, 1809-1882) в 1837г. и закончена в 1841 г.