НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Методы и приемы решения задач

Методы и приемы решения задач

1. Дополнительное построение

Продли медиану

Характеристика метода. Довольно часто, когда в условии задачи фигурирует

медиана треугольника, бывает полезным продлить ее за точку, лежащую на

стороне треугольника, на отрезок, равный самой медиане. Полученная новая

точка соединяется с вершиной (вершинами) исходного треугольника, в

результате чего образуются равные треугольники. Равенство соответствующих

элементов этих треугольников помогает найти неизвестную величину или

доказать предложенное утверждение.

Задача. Докажите, что треугольник является равнобедренным, если совпадают

проведенные из одной и той же вершины медиана и биссектриса.

Решение. Рассмотрим треугольник ABC (рис. 1). Пусть отрезок BM – его

медиана и биссектриса. Продлим BM на отрезок MD = BM. Образовались равные

треугольники AMB и MCD (1-й признак равенства треугольников).

Из равенства этих треугольников имеем:

(1) AB = CD и (2) ? 1 = ? 3.

Используя равенство (2) и то, что ? 1 = ? 2 (по условию), получим, что

треугольник BCD равнобедренный, а, следовательно, BC = CD. Используя

полученный вывод и равенство (1) доказываем, что AB = BC, откуда следует

истинность утверждения задачи.

2. Принцип непрерывности

Характеристика метода. Пусть величина k (угол, длина, площадь) зависит от

положения точки X на отрезке (ломаной или другой линии). Если при одном

положении X на отрезке k < 0, а при другом положении X на отрезке k > 0, то

найдется такое положение X на этом отрезке, при котором k = 0.

Задача. В равностороннем треугольнике ABC проведена медиана AA1. Есть ли

такая точка X на AA1, из которой отрезок BC виден под прямым углом.

Решение. Будем искать такое положение точки X, при котором ? BXC = 90°.

Начнем мысленно перемещать точку X по отрезку AA1 от A к A1. Обозначим

величину угла BXC за ?. Когда точка X находится достаточно близко от точки

A (рис. 2), тогда ? мало отличается от 60°, а поэтому ?< 90°. Когда точка X

находится достаточно близко от (рис. 3), тогда ?.

мало отличается от 180°, а поэтому ?> 90°. Значит при каком-то положении

точки X на AA1 ?.

= 90°.

3. Метод доказательства «от противного»

Характеристика метода. Имеем для доказательства утверждения вида A ?B (A –

условие, B – заключение). Суть доказательства данным методом состоит в

следующем:

1) Предполагаем, что заключение B не выполняется.

2) Путем