НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Метод конечных разностей или метод сеток

Метод конечных разностей или метод сеток

ВВЕДЕНИЕ

Значительнаое число задач физики и техники приводят к дифференциальным

уравнениям в частных прозводных (уравнения математической физики).

Установившиеся процессы различной физической природы описываются

уравнениями эллиптического типа.

Точные решения краевых задач для эллиптических уравнений удаётся

получить лишь в частных случаях. Поэтому эти задачи решают в основном

приближённо. Одним из наиболее универсальных и эффективных методов,

получивших в настоящее время широкое распространение для приближённого

решения уравнений математической физики, является метод конечных разностей

или метод сеток.

Суть метода состоит в следующем. Область непрерывного изменения

аргументов, заменяется дискретным множеством точек (узлов), которое

называется сеткой или решёткой. Вместо функции непрерывного аргумента

рассматриваются функции дискретного аргумента, определённые в узлах сетки и

называемые сеточными функциями. Производные, входящие в дифференциальное

уравнение и граничные условия, заменяются разностными производными, при

этом краевая задача для дифференциального уравнения заменяется системой

линейных или нелинейных алгебраических уравнений (сеточных или разностных

уравнений). Такие системы часто называют разностными схемами. И эти схемы

решаются относительно неизвестной сеточной функции.

Далее мы будем рассматривать применение итерационного метода Зейделя

для вычисления неизвестной сеточной функции в краевой задаче с неоднородным

бигармоническим уравнением.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть у нас есть бигармоническое уравнение :

2

U = f

Заданное на области G={ (x,y) : 00) записывается в следующем виде :

i (k+1) M (k)

aijYj + aijYj = fi , i=1,2...M

j=1 j=i+1

(k)

где Yj - jая компонента итерационного приближения номера k. В качестве

начального приближения выбирается произвольный вектор.

Определение (k+1)-ой итерации начинается с i=1

(k+1) M (k)

a11Y1 = - a1jYj +f1