НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Математическая теория захватывания

Математическая теория захватывания

Введение и краткое резюме

Настоящая работа посвящена исследованию движений автоколебаний системы

с одной степенью свободы под действием внешней периодической силы. Такие

движения представляют интерес для радиотелеграфии (например, к исследованию

таких движений сводится теория регенеративного приемника). Особенно

замечательно здесь явления так называемого "захватывания". Это явление

заключается в том, что, когда период внешней силы достаточно близок к

периоду автоколебаний системы, биения пропадают; внешняя сила как бы

"захватывает" автоколебания. Колебания системы начинают совершаться с

периодом внешнего сигнала, хотя их амплитуда весьма сильно зависит от

амплитуды "исчезнувших" автоколебаний. Интервал захватывания зависит от

интенсивности сигнала и от автоколебательной системы.

Теоретически этот вопрос уже разбирался, однако методами математически

недостаточно строгими; кроме того, бралась характеристика весьма частного

вида - кубическая парабола. Поэтому мы будем рассматривать случай

произвольной характеристики при колебаниях близких к синусоидальных.

В этой работе мы рассмотрим периодические решения с периодом, равным

периоду внешней силы, и их устойчивость при малых отклонениях. Мы оставим в

стороне другие стационарные движения, возможные в исследуемой системы,

например периодические решения с периодом, кратным периоду внешней силе,

или квазипериодические решения. Мы оставим в стороне важный вопрос об

устойчивости при больших отклонениях

Для отыскания периодических решений воспользуемся методом Пуанкаре,

которые позволяют быстро решить задачу для случая колебаний, достаточно

близких к синусоидальным. С этой целью введем в наше уравнение параметр (

таким образом, чтобы при ( = 0 уравнение превращалось в линейное и

колебания делались синусоидальными. Этот параметр (, который мы

предполагать достаточно малым, может иметь различный смысл в зависимости от

выбора системы.

Для решения вопроса об устойчивости найденного решения при малых

отклонениях воспользуемся методами Ляпунова, требуя, чтобы искомые решения

обладали "устойчивостью по Ляпунову".

В настоящей работе мы не будем вычислять радиусы сходимости тех рядов,

с которыми нам придется иметь дело; грубая оценка может быть сделана по

Пуанкаре.

В § 1 и 2 расс