НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Математическая кунсткамера \кое-что из истории геометрии\

Математическая кунсткамера \кое-что из истории геометрии\

Позвольте пригласить вас на прогулку по математической кунсткамере,

где собраны некоторые экспонаты, которые столь же отличаются от знакомых со

школьных или вузовских времен математических образов, как ихтиозавры или

какие нибудь трицератопсы от современных животных.

Джин выходит из бутылки. Необычной является уже сама функция Дирихле,

о которой говорилось выше. Ведь на самом маленьком отрезке оси абсцисс

бесконечно много и рациональных и иррациональных чисел. Но функция Дирихле

для рациональных чисел равна единице, а для иррациональных – нулю. Поэтому

когда x пробегает ось абсцисс, то значение функции все время прыгает от 0

к 1 и обратно. Построить график этой функции совершенно невозможно, потому

что эта функция во всех точках разрывна.

Но и среди непрерывных функций есть функции с неожиданными

свойствами. Например, может ли непрерывная функция иметь на конечном

отрезке бесконечно много максимумов и минимумов? На первый взгляд это

совершенно невозможно. Ведь функция должна успеть опуститься из точки

максимума в точку минимума и т. д. Как же ей сделать все это на конечном

отрезке? Тем не менее оказалось, что такие странные функции существуют,

причем построить их совсем нетрудно.

Построим такую функцию на отрезке [0,1]. Для этого разделим отрезок

пополам и построим на левой половине равносторонний треугольник. Теперь

разделим оставшуюся правую половину снова на две равные части и на части

[1/2, 3/4] построим второй равносторонний треугольник. Выполним описанную

операцию бесконечно много раз. У нас получится «горная цепь», состоящая из

бесконечного числа вершин, постепенно опускающаяся к точке 1

0

1

Рис. 12

(рис. 12). Примем полученную ломанную за график функции f(x). Тогда функция

будет определена в каждой точке отрезка [0,1], за исключением крайней

правой точки 1. В этой точке положим f(1)=0.

Так как при приближении к точке 1 высоты вершин стремятся к нулю,

полученная нами функция непрерывна во всех точках отрезка [0,1]. А число

максимумов и минимумов на этом отрезке бесконечно велико!

Математику XVIII в., чтобы построить такую странную функцию,

понадобилось бы долго комбинировать различные функции, прежде чем он

догадался бы, что функция

{ x cos(?/x), если x?0

F(x)= { 0, если x=0

имеет бе