НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Лекции по математическому анализу

Лекции по математическому анализу

(лекция 1)

Определение функции нескольких переменных.

Переменная u называется f(x,y,z,..,t), если для любой совокупности значений

(x,y,z,..,t) ставится в соответствие вполне определенное значение

переменной u.

Множество совокупностей значение переменной называют областью определения ф-

ции.

G - совокупность (x,y,z,..,t) - область определения .

Функции 2-х переменных.

Переменная z называется функцией 2х переменных f(x,y), если для любой пары

значений (x,y) ( G ставится в соответствие определенное значение переменной

z.

Предел функции 2-х переменных.

Пусть задана функция z=f(x,y), р(х,у)-текущая точка, р0(х0,у0)-

рассматриваемая точка.

Опр. Окрестностью точки р0 называется круг с центром в точке р0 и радиусом

(. ( = ((х-х0)2+(у-у0)2(

Число А называется пределом функции |в точке р0, если для любого

Lim f(x,y)

p(p0

сколь угодно малого числа ( можно указать такое число ( (()>0, что при всех

значениях х и у, для которых расстояние от т. р до р0 меньше ( выполняется

неравенство: (f(x,y) ( А(((, т.е. для всех точек р, попадающих в

окрестность точки р0, с радиусом (, значение функции отличается от А меньше

чем на ( по абсолютной величине. А это значит, что когда точка р

приблизится к точке р0 по любому пути, значение функции неограниченно

приближается к числу А.

Непрерывность функции.

Пусть задана функция z=f(x,y), р(х,у)-текущая точка, р0(х0,у0)-

рассматриваемая точка.

Опр. Функция z=f(x,y) называется непрерывной в т. р0, если выполняются 3

условия:

1)функция определена в этой точке. f(р0) = f(x,y);

2)ф-я имеет предел в этой точке.

Lim f(р) = (

p(p0

3)Предел равен значению функции в этой точке: ( = f(x0,y0);

Lim f(x,y) = f(x0,y0);

p(p0

Если хотя бы 1 из условий непрерывности нарушается, то точка р называется

точкой разрыва. Для функций 2х переменных могут существовать отдельные

точки разрыва и целые линии разрыва.

Понятие предела и непрерывности для функций большего числа переменных

определяется аналогично.

Функцию трех переменных невозможно изобразить графически, в отличие от

функции 2х переменных.

Для функции 3х переменных могут существовать точки разрыва, линии и