НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Лекции по линейной алгебре (МГИЕМ, ФПМ)

Лекции по линейной алгебре (МГИЕМ, ФПМ)

ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

1.Перемещения

Пусть X - множество всех точек прямой [pic], плоскости [pic] или

трехмерного пространства [pic]. Обозначим через d(P, Q) расстояние между

точками P и Q множества X. Отображение f: X ( X f(P) = ( называется

перемещением, если для всех P и Q d(P, Q) = d((, ().

Примеры.

1. Пусть в [pic] выбрана правая декартова прямоугольная система

координат (x, y) с началом О. Поворот [pic] плоскости на угол ( вокруг

точки О задается формулами ( = [pic]R. Здесь ( = [pic] , R = [pic].

Очевидно, поворот является перемещением плоскости.

Отметим, что [pic](О) =О, то есть точка О остается неподвижной при

повороте. Аналогично, в [pic] можно рассмотреть поворот [pic]на угол (

вокруг оси, заданной единичным вектором ( и точкой О. Легко проверить, что

это перемещение задается формулой: ( =Rcos( + (R(()sin( +((1-cos()(R(() .

Все точки оси поворота являются неподвижными.

2. Перемещением будет и параллельный перенос [pic] на вектор v , Очевидно,

( = R +v . Неподвижных точек перенос не имеет.

3. Пусть l некоторая прямая в [pic]. (Зеркальное) отражение [pic]

относительно этой прямой является перемещением. Если в декартовой

прямоугольной системе координат уравнение прямой имеет вид y = tg((/2) x

, то отражение задается формулой : ( = [pic]R . Аналогично, если (

некоторая плоскость в [pic], то отражение [pic] относительно этой

плоскости будет перемещением. Если n единичный вектор нормали к плоскости

( , проходящей через начало координат, то ( = R - 2(R(n)n .

Переносы и отражения (примеры 2 и 3) можно рассматривать и в [pic].

4. Композиция U(V (последовательное выполнение ) двух перемещений U и V

снова будет перемещением: (U(V)(P) = U(V(P)). Например, [pic] =

[pic]([pic] = ( - тождественное перемещение.

2. Связь с линейными операторами.

Теорема 1

Пусть f: X ( X - перемещение, A, B, C, D - точки X, f(A) = ( и т.д. Если AB

= CD (как свободные векторы), то (( = (( .

Доказательство.

Достаточно проверить, что в условиях теоремы четырехугольник (((( является

параллелограммом. Пусть О точка пересечения диагоналей AD и BC.

Принадлежность точки О отрезку АD равносильно равенству: d(A, O) + d(O, D)

= d(A, D). Поскольку для образов этих точек имеет место аналогичное

равенство d(( , () + d((, () = d(( , () , мы видим, что ( лежит на