НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Лекции по линейной алгебре (МГИЕМ)

Лекции по линейной алгебре (МГИЕМ)

Лекция№8

Множества с двумя алгебраическими операциями. Кольца и поля.

Пусть на множестве R определены две алгебраические операции,

которые мы будем называть сложением и умножением и обозначать

соответственно + и *. Говорят, что умножение обладает свойством (правой)

дистрибутивности относительно сложения, если

[pic]. (1)

Аналогично определяется свойство левой дистрибутивности. Разумеется, если

операция умножения коммутативна, эти свойства равнозначны. В общем случае

говоря о свойстве дистрибутивности мы будем подразумевать двустороннюю

дистрибутивность. Предположим, что операция ’+’ на R имеет нейтральный

элемент, обозначаемый 0. Положив в равенстве (1) y = z = 0, получим: x*0

= x*0 + x*0, откуда, при наличии свойства сокращения для операции ’+’ ,

получаем, что x*0 = 0. Если для элемента y имеется противоположный элемент

(-y), то взяв в том же равенстве z = -y, получим: 0 = x*0 = x*y + x*(-y) и,

значит, x*(-y) = -x*y.

Определение.

Множество с двумя алгебраическими операциями R(+,*) называется кольцом,

если

1. (R,+) - абелева группа (аддитивная группа кольца R).

2. Умножение в R дистрибутивно относительно сложения.

Дополнительные свойства операции умножения отмечаются с помощью

соответствующих прилагательных перед словом кольцо. Так ассоциативное

кольцо - это кольцо, в котором операция умножения обладает свойством

ассоциативности. Аналогичный смысл имеет термин коммутативное кольцо.

Наличие нейтрального элемента для операции умножения выражают термином

кольцо с единицей ( этот нейтральный элемент называют единицей и

обозначают [pic]или просто e ); При этом дополнительно предполагается, что

кроме свойств 1 и 2 выполнено

3. [pic][pic]0.

Элементы такого кольца R, имеющие обратные относительно операции

умножения, называются обратимыми , а их множество обозначается через

[pic]. Отметим, что для ассоциативного кольца с единицей множество

[pic]является группой по умножению, называемой мультипликативной группой

кольца R. Поскольку в кольце R с единицей [pic] x*0 = 0[pic]e ,

элемент 0 из R необратим. В случае ассоциативного кольца не будет обратим и

такой элемент y[pic]0, для которого можно найти такое z[pic]0, что y*z = 0.

Такой элемент y называется (левым) делителем нуля.

Определение.

Полем называется такое ассоциативное коммутативное кольцо с единицей k, в

котором всякий ненулевой элемент обратим: [pic].

Таким образом, по определению в поле отсутствуют делители нуля.

Примеры колец и полей.

1. Хорошо известными примерами полей являются, конечно, поля R,Q, и C

соответственно вещественных, рациональных и комплексных чисел . Отметим,

что любое поле содержит по крайней мере 2 элемента - 0 и e. Этот

«минимальный» запас элементов и достаточен для образования поля: операции

определяются очевидным образом ( отметим только, что e+e=0). Построенное

поле из двух элементов обозначается GF(2) (по причинам, которые будут

ясны в дальнейшем). Напомним также, что если p - простое число, то все

вычеты по модулю p, кроме 0, обратимы относительно операции умножения.

Значит, рассматривая группу [pic] с дополнительной операцией умножения,

мы получаем поле из p элементов, которое обозначается GF(p).

2. Множество Z целых чисел с операциями сложения и умножения дает важный

пример ассоциативного коммутативного кольца с единицей. Аддитивная группа

этого кольца - хорошо известная нам бесконечная циклическая группа.

Мультипликативная группа [pic] содержит всего 2 элемента 1 и -1 и потому

изоморфна [pic]. Элементы, не входящие в [pic] необратимы, хотя и не

являются делителями нуля.

3. Пусть R - любое ассоциативное коммутативное кольцо. Множество[pic]-

квадратных матриц порядка n с элементами из кольца R образует кольцо

относительно операций сложения и умножения матриц. Отметим, что кольцо

матриц ассоциативно, но, вообще говоря, не коммутативно. Если R содержит

единицу [pic], то матрица Е = diag([pic],[pic],...,[pic]) ,будет

единицей кольца матриц. Заметим, что для любой матрицы [pic][pic] имеет

смысл понятие определителя det(A) [pic] R, причем det(AB)=det(A)det(B).

Если det(A) обратимый элемент кольца R, то матрица A обратима в кольце

матриц: [pic], где [pic]- присоединенная к А матрица (то есть

транспонированная матрица из алгебраических дополнений). Таким образом,

[pic]= [pic]- группа матриц порядка n с обратимым определителем. В

случае поля R это означает, что det(A) [pic]0, то есть матрица

невырождена. С другой стороны, в этом случае любая вырожденная матрица

будет делителем нуля. В самом деле, из det(A) = 0 следует, что столбцы А

линейно зависимы: [pic], причем не все коэффициенты нулевые. Построим

ненулевую матрицу В, взяв [pic] в качестве ее первого столбца и считая

прочие элементы В нулевыми. Тогда А*В = 0 и значит А - делитель нуля.

4. Пусть снова R любое ассоциативное коммутативное кольцо и x - некоторый

символ. Формальная сумма вида p= [pic], где [pic] называется многочленом

над кольцом R. Если [pic] , то число n называется степенью этого

многочлена и обозначается deg(p). Нулевой многочлен не имеет степени.

Многочлены над R можно складывать и перемножать по обычным правилам и они

образуют кольцо R[x]. Если кольцо R имеет единицу е, то многочлен нулевой

степени p=e будет единицей кольца R[x]. Если R не имеет делителей нуля,

то deg(pq)=deg(p)+ deg(q) и потому R[x] также не имеет делителей нуля. В

то же время обратимыми элементами кольца многочленов будут в точности

обратимые элементы R, рассматриваемые как многочлены нулевой степени.

Отметим, что эта конструкция позволяет рассматривать и многочлены от

нескольких переменных: по определению, R[x,y] =R[x][y] (=R[y][x]).

Определение.

Подмножество [pic] называется подкольцом, если оно является кольцом

относительно тех же операций, которые определены в R.

Это означает, что К является подгруппой аддитивной группы R и замкнуто