НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Лекции переходящие в шпоры Алгебра и геометрия

Лекции переходящие в шпоры Алгебра и геометрия

1. Матрицы. Терминология и обозначения.

Матрицей размера (mxn) называется набор m(n чисел – элементов м-цы Ai,j,

записанных в виде прямоугольной таблицы:

[pic]

Набор аi1, ai2, ain – наз iтой строкой м-цы. Набор a1j, a2j, amj – jтым

столбцом.

М-ца размером 1хп – называется строкой, вектором; м-ца размером mx1 –

столбцом. Если размерность пхп – матрица называется квадратной. Набор

элементов а11, а22, апп образует главную диагональ м-цы. Набор а1п, а1,п-1,

ап1 – побочную диагональ. М-ца все эл-ты, которой = 0 наз. нулевой.

Квадратная м-ца, элементы главной диагонали которой равны 1, а все

остальные – 0, называется единичной, обозн.: Е

Матрицы: А(I,j) и B(I,J) называется равными, если равны их размеры и их

элеме6нты в одинаковых позициях совпадают.

2. Действия с матрицами

1) Сложение

Суммой м-ц А(I,j) и B(I,J) наз. м-ца С(I,J) элементы кот, выч по формуле:

Сij=Aij+Bij (I=1…m, j = 1…n)

C=A+B (размер всех м-ц: mxn)

2) умножение м-цы на число

Произведение м-цы А = (Aij) размера mxn на число С называется матрица:

B=(Bij) размера mxn, элементы кот, выч. по формуле:

Вij=С(Aij (I=1…m, j = 1…n)

В=С(А

вычитание:

С=А+(-)В = А-В

3) умножение м-ц

А=(Aik), B=(Bkj) – квадратные м-цы порядка n. Произведением А на В называют

м-цу С= (Сij) элементы, кот выч. по формуле:

Сij = Ai1(B1j+… Ain(BnJ

С=АВ. Можно записать так:

[pic]

Порядок сомножителей в матрице существенен: АВ не равно ВА

Св-ва умножения м-цы:

(АВ)С=А(ВС)

А(В+С)=АВ+АВ, (А+В)С=АС+ВС

Произведение двух прямоугольных матриц существует, если их внутренние

размеры (число столбцов первой, и число строк второй) равны.

3. Порядки суммирования. Транспонирование м-цы

Сумму Н всех элементов квадратной м-цы А можно вычислить 2 мя способами:

1. Находя сумму элементов каждого столбца и складывая полученные суммы:

[pic]

2. Находя сумму элементов каждой строки и складывая эти суммы:

[pic]

отсюда вытекает, что

[pic]

порядок суммирования в двойной сумме можно менять.

Матрица

[pic]

называется транспонированной по отношению к м-це А=

[pic]

Обозначается АТ. При транспонировании строки переходят в столбцы, а столбцы

в строки и если А размером mxn, то АТ будет размером