НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Курсовая работа по численным методам

Курсовая работа по численным методам

1. Методом Крылова развернуть характеристический определитель матрицы

А=[pic]. Исходную систему линейных уравнений решить методом Жордана-Гаусса.

Решение. Метод Крылова основан на свойстве квадратной матрицы

обращать в нуль свой характеристический многочлен.

Согласно теореме Гамильтона-Кали, всякая квадратная матрица является

корнем своего характеристического многочлена и, следовательно, обращает его

в нуль.

Пусть

[pic] – (1)

характеристический многочлен.

Заменяя в выражении (1) величину [pic] на [pic], получим

[pic]. (2)

Возьмем произвольный ненулевой вектор

[pic]. (3)

Умножим обе части выражения (2) на [pic]:

[pic] (4)

Положим

[pic], (5)

т.е.

[pic] (6)

Учитывая (5), выражение (4) запишем в виде

[pic], (7)

или в виде

[pic]

Решаем систему (7). Если эта система имеет единственное решение, то

ее корни [pic] являются коэффициентами характеристического многочлена (1).

Если известны коэффициенты [pic] и корни [pic] характеристического

многочлена, то метод Крылова дает возможность найти соответствующие

собственные векторы по следующей формуле:

[pic] (8)

Здесь [pic] – векторы, использованные при нахождении коэффициентов

[pic] методом Крылова, а коэффициенты [pic] определяются по схеме Горнера

[pic] (9)

Используя все выше сказанное, развернем характеристический

определитель матрицы А=[pic] методом Крылова.

Выберем в качестве начального следующий вектор:

[pic], [pic]

Вычислим

[pic][pic][pic]

Составим матричное уравнение

[pic], или [pic]

Полученную систему уравнений решим методом Жордана-Гаусса.

| |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |

|1|9 |2 |0 |-72 |-61 |-61 |

| |-1 |1 |0 |-3 |-3 |-3 |

| |30 |5 |1 |-167 |-131 |-131 |

|2|1 |2/9 |0 |-8 |-61/9 |-61/9 |

|3|1 |0 |0 |-6 |-5 |-5 |

| |0