НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Курс лекций по теории вероятностей

Курс лекций по теории вероятностей

Раздел 1. Классическая вероятностная схема

1.1 Основные формулы комбинаторики

В данном разделе мы займемся подсчетом числа «шансов». О числе шансов

говорят, когда возможно несколько различных результатов какого-либо

действия (извлечение карты из колоды, подбрасывание кубика или монетки,

двух кубиков и т.д.). Число шансов — это число таких возможных результатов,

или, иначе говоря, число способов проделать это действие.

Теорема о перемножении шансов

Теорема 1. Пусть имеется, k групп элементов, причем i-я группа содержит

ni элементов, 1 n1 или k - k1 > n - n1 искомая вероятность равна

0, так как соответствующее событие невозможно. Пусть k1 < n1 и k - k1 < n -

n1. Результатом эксперимента является набор из k шаров. При этом можно не

учитывать или учитывать порядок следования шаров.

1. Выбор без учета порядка. Общее число элементарных исходов есть число

k –элементных подмножеств множества, состоящего из n элементов, то есть

[pic] (по теореме 3).

Обозначим через A событие, вероятность которого требуется найти.

Событию A благоприятствует появление любого набора, содержащего k1 белых

шаров и k - k1 черных.

Число благоприятных исходов равно произведению (по теореме 1) числа

способов выбрать k1 белых шаров из n1 и числа способов выбрать k - k1

черных шаров из n - n1:

[pic]

Вероятность события A равна:

2. Выбор с учетом порядка. Общее число элементарных исходов есть число

способов разместить n элементов на k местах[pic] (по теореме 2).

При подсчете числа благоприятных исходов нужно учесть, как число

способов выбрать нужное число шаров, так и число способов расположить эти

шары среди k. Можно, скажем, посчитать число способов выбрать k1 мест среди

k (равное [pic]), затем число способов разместить на этих k1 местах n1

белых шаров (равное [pic] — не забывайте про учет порядка!), и затем число

способов разместить на оставшихся k - k1 местах n - n1 черных шаров (равное

[pic]). Перемножив эти числа, получим:

В рассмотренной задаче мы сопоставили каждому набору из k1 белых и k-

k1черных шаров вероятность получить этот набор при выборе k шаров из урны,

содержащей n1белых и n-n1черных шаров:

Определение 8. Соответствие или следующий набор вероятностей

Называется гипергеометрическим распределением.

Раздел 2. Геометрическая ве