НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Кривые третьего и четвертого порядка

Кривые третьего и четвертого порядка

Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова

Кафедра высшей математики

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему:

«Кривые третьего и четвертого порядка»

Выполнили: студенты

группы С-12-00

Пинаев И.Н.

Искаков Р.Р.

Проверила:

доцент кафедры высшей математики

к.ф.-м.наук Самарина С.М.

Чебоксары, 2002

Декартов лист

1. Особенности формы. Декартовым листом называется кривая 3-го порядка,

уравнение которой в прямоугольной системе имеет вид

[pic] (1)

Иногда удобно пользоваться параметрическими уравнениями декартова листа,

которые можно получить, полагая y=tx, присоединяя к этому равенству

равенство (1) и решая полученную систему относительно х и у, в результате

будем иметь:

|[pic] |(2) |

откуда следует, что декартов лист является рациональной кривой.

Заметим еще, что полярное уравнение декартова листа имеет вид

[pic] (3)

Координаты х и у входят в уравнение декартова листа симметрично, откуда

следует, что кривая симметрична относительно биссектрисы у=х. Обычное

исследование на особые точки приводит к заключению, что начало координат

является узловой точкой декартова листа. Уравнения касательных к

алгебраической кривой в ее особой точке, совпадающей с началом координат,

можно получить, как известно, приравнивая нулю группу членов низшей степени

из уравнения этой кривой. В нашем случае имеем З аху = 0, откуда получим х

= 0 и у = 0 – искомые уравнения касательных в узловой точке. Эти

касательные совпадают с координатными осями и, следовательно, в начале

координат кривая пересекает сама себя под прямым углом. Легко видеть, что в

первом координатном угле кривая делает петлю, которая пересекается с прямой

у = х в точке

[pic]

Точки этой петли, в которых касательные параллельны координатным осям,