НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - История открытия комплексных чисел

История открытия комплексных чисел

[pic][pic]

“Помимо и даже против воли

того или другого математика,

мнимые числа снова и снова

появляются на выкладках, и

лишь постепенно по мере того

как обнаруживается польза от

их употребления, они получают

более и более широкое

распространение” Ф. Клейн.

Автор: Соловьев Алексей 12а.

[pic]

ревнегреческие математики считали “настоящими” только натуральные числа.

Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных

чисел.

В III веке Архимед разработал систему обозначения вплоть до такого

громадного как [pic]. Наряду с натуральными числами применяли дроби -

числа, составленные из целого числа долей единицы. В практических расчетах

дроби применялись за две тысячи лет до н. э. в древнем Египте и древнем

Вавилоне. Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается

или в виде натурального числа, или в виде отношения таких чисел, то есть

дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что “… элементы

чисел являются элементами всех вещей и весь мир в челом является гармонией

и числом. Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием, сделанным

одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со

стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно, для

того чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Есть основание

утверждать, что именно с этого открытия начинается эра теоретической

математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта, не

прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно.

Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение

отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за два века

до н. э. Отрицательные числа применяли в III веке древнегреческий математик

Диофант, знавший уже правила действия над ними, а в VII веке эти числа уже

подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом.

С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения

величин. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из

положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, а

из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа

[pic], чтобы [pic].

В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым

извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения

кубических уравнений вида [pic] кубические и квадратные корни: [pic].[pic]

Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один

действительный корень ([pic]), а если оно имеет три действительных корня

([pic]), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число.

Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию

извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Вслед за тем, как

были решены уравнения 4-й степени, математики усиленно искали формулу для

решения уравнения 5-й степени. Но Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX

веков доказал, что буквенное уравнение пятой степени [pic] нельзя решить

алгебраически; точнее: нельзя выразить его корень через буквенные величины

a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий (сложение, вычитание,

умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня).

В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень

которого больше чем 4, нельзя решить алгебраически. Тем не менее

всякое уравнение n-й степени имеет (если рассматривать и комплексные числа)

n корней (среди которых могут быть и равные). В этом математики были

убеждены еще в XVII веке (основываясь на разборе многочисленных частных

случаев), но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была

доказана Гауссом.

Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой

природы. Он показал, что система уравнений [pic], не имеющая решений во

множестве действительных чисел, имеет решения вида [pic], [pic], нужно

только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной

алгебры и считать что [pic]. Кардано называл такие величины “чисто

отрицательными” и даже “софистически отрицательными”, считал их

бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью таких

чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни

изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга

итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые

правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из

них кубических корней. Название “мнимые числа” ввел в 1637 году французский

математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков

XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского

слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа [pic] (мнимой единицы).

Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу . Термин

“комплексные числа” так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс

(от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий,

предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.

В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых

чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.

Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже

XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала

из отр