НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов

Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов

Министерство общего и профессионального образования

Сочинский государственный университет туризма

и курортного дела

Педагогический институт

Математический факультет

Кафедра общей математики

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

Использование дифференциальных уравнений в частных производных для

моделирования реальных процессов.

Выполнила: студентка 5-го курса

дневной формы обучения

Специальность 010100

„Математика”

Прокофьевой Я. К.

Студенческий билет № 95035

Научный руководитель: доцент,

канд.

техн. наук

Позин П.А.

Сочи, 2000 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………………………..……3

Глава 1. Уравнения гиперболического типа.

§1.1. Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа..………………5

1.1.1. Уравнение колебаний струны..…………………………………………5

1.1.2. Уравнение электрических колебаний в проводах…….………………8

§1.2. Метод разделения переменных ……………………………………………..10

1.2.1. Уравнение свободных колебаний струны….…………………………10

Глава 2. Уравнения параболического типа.

§2.1. Задачи, приводящие к уравнениям параболического типа………………..17

2.1.1. Уравнение распространения тепла в стержне.……………………….17

2.1.2. Распространение тепла в пространстве.………………………………19

§2.2. Температурные волны.……………………………………………………….23

Глава 3. Моделирование с помощью дифференциальных уравнений в частных

производных.

§3.1. Дифракция излучения на сферической частице……………………………29

Заключение………………………………………………………………………….40

Литература…………………………………………………………………………..41

ВВЕДЕНИЕ

Изучением дифференциальных уравнений в частных производных занимается

математическая физика. Основы теории этих уравнений впервые были изложены в

знаменитом «Интегральном исчислении» Л. Эйлера.

Классические уравнения математической физики являются линейными.

Особенность линейных уравнений состоит в том, что если U и V – два решения,

то функция (U + (V при любых постоянных ( и ( снова является решением. Это

обстоятельство позволяет построить общее решение линейного

дифференциального уравнения из фиксированного набора его элементарных

решений и упрощает теорию этих уравнений.

Современная общая теория дифференциальных уравнений занимается главным

образом линейными уравнениями и специальными классами нелинейных уравнений.

Основным методом решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных

производных выступает численное интегрирование.

Круг вопросов математической физики тесно связан с изучением различных

физических процессов. Сюда относятся явления, изучаемые в гидродинамике,

теории упругости, электродинамике и т.д. Возникающие при этом

математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет

математической физики.

Постановка задач математической физики, будучи тесно связанной с

изучением физических проблем, имеет свои специфические черты. Так,

например, начальная и конечная стадии процесса носят качественно различный

характер и требуют применения различных математических методов.

Круг вопросов, относящихся к математической физике, чрезвычайно широк.

В данной работе рассматриваются задачи математической физики, приводящие к

уравнениям с частными производными.

Расположение материала соответствует основным типам уравнений. Изучение

каждого типа уравнений начинается с простейших физических задач, приводящих

к уравнениям рассматриваемого типа.

Глава 1. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

§1.1. Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа.

Уравнения с частными производными 2-го порядка гиперболического типа

наиболее часто встречаются в физических задачах, связанных с процессами

колебаний. Простейшее уравнение гиперболического типа

[pic]

называется волновым уравнением. К исследованию этого уравнения приводит

рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний

стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала,

колебаний газа и т.д.

1.1.1. Уравнение колебаний струны.

В математической физике под струной понимают гибкую, упругую нить.

Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по

касательной к ее профилю. Пусть струна длины [pic] в начальный момент

направлена по отрезку оси Оx от 0 до [pic]. Предположим, что концы струны

закреплены в точках [pic]. Если струну отклонить от ее первоначального

положения, а потом предоставить самой себе или, не отклоняя струны, придать

в начальный момент ее точкам некоторую скорость, или отклонить струну и

придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать

движения – говорят, что струна начнет колебаться. Задача заключается в

определении формы струны в любой момент времени и определении закона

движения каждой точки струны в зависимости от времени.

Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального

положения. В силу этого можно предполагать, что движение точек струны

происходит перпендикулярно оси Ox и в одной плоскости. При этом

предположении процесс колебания струны описывается одной функцией [pic],

которая дает величину перемещения точки струны с абсциссой x в момент t.

Рис. 1.1.

Так как мы рассматриваем малые отклонения струны в плоскости [pic], то

будем предполагать, что длина элемента струны [pic] равняется ее проекции

на ось Ox, т.е. [pic].1 Также будем предполагать, что натяжение во всех

точках струны одинаковое; обозначим его через Т.

Рассмотрим элемент струны [pic].

Рис. 1.2.

На концах этого элемента, по касательным к струне, действуют силы Т. Пусть

касательные образуют с осью Ox углы [pic]. Тогда проекция на ось Ou сил,

действующих на элемент [pic], будет равна [pic]. Так как угол [pic] мал, то

можно положить [pic], и мы будем иметь:

[pic]

(здесь мы применили теорему Лагранжа к выражению, стоящему в квадратных

скобках).

Чтобы получить уравнение движения, нужно внешние силы, приложенные к

элементу, приравнять силе инерции. Пусть [pic] - линейная плотность струны.

Тогда масса элемента струны будет [pic]. Ускорение элемента равно [pic].

Следовательно, по принципу Даламбера будем иметь:

[pic].

Сокращая на [pic] и обозначая [pic], получаем уравнение движения

[pic]. (1)

Это и есть волновое уравнение – уравнение колебаний струны. Для полного

определения движения струны одного уравнения (1) недостаточно. Искомая

функция [pic] должна удовлетворять еще граничным условиям, указывающим, что

делается на концах струны [pic], и начальным условиям, описывающим

состояние струны в начальный момент (t = 0). Совокупность граничных и

начальных условий называется краевыми условиями.

Пусть, например, как мы предполагали, концы струны при [pic]

неподвижны. Тогда при любом t должны выполнятся равенства:

[pic] (2’)

[pic] (2’’)

Эти равенства являются граничными условиями для нашей задачи.

В начальный момент t = 0 струна имеет определенную форму, которую мы ей

придали. Пусть эта форма определяется функцией f (x). Таким образом, должно

быть

[pic] (3’)

Далее, в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке

струны, которая определяется функцией [pic]. Таким образом, должно быть

[pic] (3’’)

Условия (3’) и (3’’) являются начальными условиями.

Замечание. В частности, может быть [pic] или [pic]. Если же [pic] и

[pic], то струна будет находится в покое, следовательно, [pic].

1.1.2. Уравнение электрических колебаний в проводах.

Как указывалось выше, к уравнению (1) приводит и задача об

электрических колебаниях в проводах. Электрический ток в проводе

характеризуется величиной i (x, t) и напряжением v (x, t), которые зависят

от координаты x точки провода и от времени t. Рассматривая элемент провода

[pic], можем написать, что падение напряжения на элементе [pic] равно

[pic]. Это падение напряжения складывается из омического, равного [pic], и

индуктивного, равного [pic]. Итак,

[pic] (4)

где R и L – сопротивление и коэффициент индуктивности, рассчитанные на

единицу длины провода. Знак минус взят потому, что ток течет в направлении,

обратном возрастанию v. Сокращая на [pic], получаем уравнение

[pic] (5)

Далее, разность токов, выходящего из элемента [pic] и входящего в него за

время [pic], будет

[pic]

Она расходуется на зарядку элемента, равную [pic], и на утечку через

боковую поверхность провода вследствие несовершенства изоляции, равную

[pic] (здесь А – коэффициент утечки). Приравнивая эти выражения и сокращая

на [pic], получим уравнение

[pic] (6)

Уравнения (5) и (6)принято называть телеграфными уравнениями.

Из системы уравнений (5) и (6) можно получить уравнение, содержащее

только искомую функцию i (x, t), и уравнение, содержащее только искомую

функцию v (x, t). Продифференцируем члены уравнения (6) по x; члены

уравнения (5) продифференцируем по t и умножим их на С. Произведя

вычитание, получим:

[pic]

Подставляя в последнее уравнение выражение [pic] из уравнения (5), получим:

[pic]

или

[pic] (7)

Аналогичным образом получается уравнение для определения v (x, t):

[pic] (8)

Если пренебречь утечкой через изоляцию [pic] и сопротивлением [pic], то

уравнения (7) и (8) переходят в волновые уравнения:

[pic]

где обозначено: [pic]. Исходя из физических условий, формулируют граничные

и начальные условия задачи.

§1.2. Метод разделения переменных.

1.2.1. Уравнение свободных колебаний струны.

Метод разделения переменных или метод Фурье, является одним из наиболее

распространенных методов решения уравнений с частными производными.

Изложение этого метода мы проведем для задачи о колебаниях струны,

закрепленной на концах. Итак, будем искать решение уравнения

[pic]

удовлетворяющее однородным граничным условиям

[pic] (9)

и начальным условиям

[pic] (10)

Уравнение (1) линейно и однородно, поэтому сумма частных решений также

является решением этого уравнения. Имея достаточно большое число частных

решений, можно попытаться при помощи суммирования их с некоторыми

коэффициентами найти искомое решение.

Поставим основную вспомогательную задачу: найти решение уравнения

[pic]

не равное тождественно нулю, удовлетворяющее однородным граничным условиям

[pic] (11)

и представимое в виде произведения

[pic] (12)

где X (x) – функция только переменного x, T (t) – функция только

переменного t.

Подставляя предполагаемую форму решения (12) в уравнение (1), получим:

[pic]

или, после деления на XT,

[pic] (13)

Чтобы функция (12) была решением уравнения (1), равенство (13) должно

удовлетворяться тождественно, т. е. 0 ‹ х ‹ [pic], t › 0. Правая часть

равенства (13) является функцией только переменного t, а левая – только х.

Фиксируя, например, некоторое значение х и меняя t (или наоборот), получ