НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Геометрия чисел

Геометрия чисел

Введение.

Возникновением теории чисел мы, по большому счёту, обязаны Минковскому.

Минковский (Minkowski), Герман - выдающийся математик (1864 - 1909), еврей,

родом из России. Был профессором в Бонне, Кенигсберге, Цюрихе и Геттингене.

Сблизил теорию чисел с геометрией, создав особое учение о "геометрии чисел"

("Geometrie der Zahlen", 1896 - 1910; "Diophantische Approzimationen",

1907, и др.). Последняя его работа: "Raum und Zeit" (Лейпциг.,1909;

несколько русских переводов); здесь дана смелая математическая формулировка

так называемого "принципа относительности". Полное собрание сочинение

Минковского вышло в Лейпциге, в 1911 г.; биография Минковского в русском

издании "Пространство и время". Таким образом, Минковский сделал большой

вклад в развитие математики как науки. В частности, он сумел упростить

теорию единиц полей алгебраических чисел, а также упростил и развил

теорию аппроксимации иррациональных чисел рациональными, или теорию

диофантовых приближений. Под диофантовыми приближениями в данном случае

понимается раздел теории чисел, изучающий приближения действительных чисел

рациональными и вопросы, связанные с решением в целых числах линейных и

нелинейных неравенств с действительными коэффициентами. Это новое

направление, которое Минковский назвал „геометрией чисел", развилось

в независимый раздел теории чисел, имеющий много приложений в

самых различных вопросах и вместе с тем достаточно интересный для

самостоятельного изучения.

Постановка задачи.

Для начала я хочу рассмотреть некоторые понятия и результаты, играющие в

дальнейшем основную роль. Рассуждения, которыми мы здесь пользуемся, иногда

значительно отличаются от рассуждений в основных книгах по данному вопросу,

так как в данной работе мы имеем целью, не давая полных доказательств,

сделать для простейших случаев геометрическую ситуацию интуитивно ясной,

тогда как позднее мы будем вынуждены жертвовать наглядностью ради точности.

В работе рассматривается основная задача геометрии чисел, приводится

теорема Минковского с её доказательством, и объясняются такие понятия

геометрии чисел как решётки и критические решётки. В конце работы

приводится так называемая «неоднородная задача» геометрии чисел.

Основная задача геометрии чисел.

Основной и типичной задачей геометрии чисел является следующа