НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Билеты по аналитической геометрии

Билеты по аналитической геометрии

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.

Пусть задана система векторов а1, а2, а3,…,ал (1) одной размерности.

Определение: система векторов (1) называется линейно-независимой, если

равенство (1а1+(2а2+…+(лал=0 (2) выполняется лишь в том случае, когда все

числа (1, (2,…, (л=0 и (R

Определение: система векторов (1) называется линейно-зависимой, если

равенство (2) выполнимо хотя бы при одном (i(0 (i=1,…,k)

Свойства

1. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима

2. Если система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то

она будет линейно-зависимой.

3. Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет

линейно независимой.

4. Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной

комбинацией других векторов, то эта система векторов будет линейно

зависимой.

Определение: два вектора называются коллинеарными, если они лежат на

параллельных прямых.

Определение: три вектора называются компланарными, если они лежат в

параллельных плоскостях.

Теорема: Если заданы два вектора a и b, причем а(0 и эти векторы

коллинеарны, то найдется такое действительное число (, что b=(a.

Теорема: Для того что бы два вектора были линейно-зависимы необходимо и

достаточно, что бы они были коллениарны.

Доказательство: достаточность. Т.к. векторы коллинеарны, то b=(a. Будем

считать, что а,b(0 (если нет, то система линейно-зависима по 1 свойству).

1b-(a=0. Т.к. коэфф. При b(0, то система линейно зависима по определению.

Необходимость. Пусть а и b линейно-зависимы. (а+(b=0, ((0. а= -b/(*b. а и b

коллинеарны по определению умножения вектора на число.

Теорема: для того, чтобы три вектора были линекно-зависимы необходимо и

достаточно, чтобы они были компланарны. Необходимость.

Дано: a, b, c – линейно-зависимы. Доказать: a, b, c – компланарны.

Доказательство: т.к. векторы линейно-зависимы, то (а+(b+(c=0, ((0. с= -

(/(*а - (/(*b. с-диагональ параллелограмма, поэтому a, b, c лежат в одной

плоскости.

БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.

1. Определение: пусть задана некоторая система векторов. Базисом этой

системы называется мах. совокупность линейно-независимых векторов системы.

В множестве векторов на прямой базис состоит из одного ненулевого вектора.

В качестве базиса множества векторов на плоскости можно взять произвольную

пару.

В множестве векторов в трехмерном пространстве базис состоит из трех