НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Аксиоматика теории множеств

Аксиоматика теории множеств

Введение

Значение математической логики в нашем и прошлом столетии сильно

возросло. Главной причиной этого явилось открытие парадоксов теории

множеств и необходимость пересмотра противоречивой интуитивной теории

множеств. Было предложено много различных аксиоматических теорий для

обоснования теории множеств, но как бы они не отличались друг от друга

своими внешними чертами, общее для всех них содержание составляют те

фундаментальные теоремы, на которые в своей повседневной работе опираются

математики. Выбор той или иной из имеющихся теорий является в основном

делом вкуса; мы же не предъявляем к системе, которой будем пользоваться,

никаких требований, кроме того, чтобы она служила достаточной основой для

построения современной математики.

§1. Система аксиом

Опишем теорию первого порядка NBG, которая в основном является

системой того же типа, что и система, предложенная первоначально фон

Нейманом [1925], [1928], а затем тщательно пересмотренная и упрощенная Р.

Робинсоном [1937], Бернайсом [1937—1954] и Гёделем [1940]. (Будем в

основном следовать монографии Гёделя, хотя и с некоторыми важными

отклонениями.) Теория NBG имеет единственную предикатную букву [pic] и не

имеет ни одной функциональной буквы или предметной константы. Чтобы быть

ближе к обозначениям Бернайса [1937—1954] и Гёделя [1940], мы будем

употреблять в качестве переменных вместо x1, x2, … прописные латинские

буквы X1, Х2, ... (Как обычно, мы используем буквы X, Y, Z, ... для

обозначения произвольных переменных.) Мы введем также сокращенные

обозначения Х[pic]Y для[pic](X, Y) и X[pic]Y для [pic][pic](X, Y).

Содержательно знак [pic] понимается как символ отношения принадлежности.

Следующим образом определим равенство:

Определение. Х=Y служит сокращением для формулы [pic].

Таким образом, два объекта равны тогда и только тогда, когда они

состоят из одних и тех же элементов.

Определение. [pic] служит сокращением для формулы [pic](включение).

Определение. X[pic]Y служит сокращением для Х [pic] Y & X ? Y

(собственное включение).

Из этих определений легко следует

Предложение 1.

(а) [pic] Х = Y [pic] (X [pic] Y & Y [pic] X);

(b) [pic] Х = Х;

(с) [pic] Х = Y [pic]Y = Х;

(d)