НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Вычислительные методы алгебры (лекции)

Вычислительные методы алгебры (лекции)

§1. Учет погрешностей вычислений.

При решении математических задач могут возникнуть погрешности по различным

причинам:

1. При составлении математической модели физического процесса или явления

приходится принимать условия, упрощающие постановку задачи. Поэтому

математическая модель не отражает реальный процесс, а дает его

идеализированную картину. Погрешность, возникающая при этом, называется

погрешностью постановки задачи.

2. Часто приходится для решения задачи применять приближенный метод

(интеграл заменяют квадратурной суммой, производную заменяют разностью,

функцию – многочленом). Погрешность, возникающая при этом, называется

погрешностью метода.

3. Часто исходные данные заданы не точно, а приближенно. При выполнении

вычислений погрешность исходных данных в некоторой степени переходит в

погрешность результата. Такая погрешность называется погрешностью

действий.

4. Погрешность, возникающая при округлении бесконечных и конечных

десятичных чисел, имеющих большее число десятичных знаков, чем надо в

округлении, называется погрешностью округления.

Определение. Пусть х – некоторое число, число а называется его приближенным

значением, если а в определенном смысле мало отличается от х и заменяет х в

вычислениях, [pic].

Определение. Погрешностью [pic] приближенного значения а числа х называется

разность [pic], а модуль этой погрешностью называется абсолютной

погрешностью.

Если [pic], то а взято с недостатком.

Если [pic], то а взято с избытком.

Определение. Границей погрешности приближенного значения а числа х

называется всякое неотрицательное число [pic], которое не меньше модуля

погрешности: [pic].

Говорят, что приближение а приближает число х с точностью до [pic], если

[pic], [pic], [pic].

Пример. Пусть а=0,273 – приближенное значение х с точность до 0,001.

Указать границы, в которых заключается х.

[pic]

При округлении чисел считают, что границы погрешности округления равна

половине единицы округляемого разряда:

[pic], ? – порядок округления разряда.

Определение. Относительной погрешностью приближенного значения а числа х

называется отношение

[pic].

Пример. Округлить до десятых число 27,52 и найти погрешность и

относительную погрешность округления:

[pic],

[pic],

[pic].

Также как и абсолютная погрешность относительная погрешность не всегда

может быть вычислена и приходится оценивать ее модуль. Модуль относительной

погрешности выражается в процентах. Чем меньше модуль относительной

погрешности, тем выше качество приближения.

Определение. Границей относительной погрешности приближенного значения а

числа х называется всякое неотрицательное число [pic], которое не меньше

модуля относительной погрешности: [pic].

Установим связь между границами погрешностей абсолютной и относительной:

[pic] - граница относительной погрешности;

[pic] - граница абсолютной погрешности.

[pic].