НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Теория случайных функций

Теория случайных функций

Московский Государственный Институт Электроники и Математики

(Технический Университет)

КУРСОВАЯ РАБОТА

по курсу

“Теория случайных функций“

Студент: Ференец Д.А.

Преподаватель: Медведев А.И.

Вариант: 2.4.5.б

Москва, 1995

Дано:

Восстанавливаемая, резервированная система (5,1) с КПУ, вероятность

срабатывания КПУ равна b.

Время невыхода из строя (т.е. безотказной работы) основного элемента

распределено экспоненциально с параметром a.

Время восстановления вышедшего из строя элемента распределено

экспоненциально с параметром m.

Тип резервироавния - ненагруженный.

Для описания состояния системы введем двумерный случайный поцесс n(t) =

(x(t), d(t)) с координатами, описывающими:

- функционирование элементов

x(t) О {0, 1, 2} - число неисправных элементов;

- функционирование КПУ

d(t) О {0,1} - 1, если исправен, 0 - если нет.

Так как времена безотказной работы и восстановления имеют

экспоненциальное распределение, то в силу свойств экспоненциального

распределения, получим, что x(t) - однородный Марковский процесс.

Определим состояние отказа системы:

Система отказывает либо если переходит в состояние 2 процесса x(t) (т.е.

отказ какого-либо элемента при количестве резервных элементов, равным

нулю), либо если находится в состоянии 0 процесса d(t) (т.е. отказ какого-

либо элемента и отказ КПУ).

Таким образом, можно построить граф состояний системы:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

0

1

П

[pic]

[pic]

[pic]

0 - состояние, при котором 0 неисправных элементов,

т.е. состояние n(t) = (0, d(t))

1 - состояние, при котором 1 неисправный элемент,

т.е. состояние n(t) = (1, 1)

П - состояние, при котором либо 2 неисправных элемента, либо 1 неисправный

элемент и неисправный КПУ,

т.е. композиция состояний n(t) = (1, 1), n(t) =(2, 0) - поглощающее

состояние.

Найдем интенсивности переходов.

Так как выход из строя каждого из элементов - события независимые, то

получим:

вероятность выхода из строя элемента: 1-exp(-5ah) = 5ah + o(h)

вероятность восстановления элемента: 1-exp(-mh) = mh + o(h)

Ю [pic]

Пусть [pic]

Ю Получим систему дифференциальных уравнений Колмогорова:

[pic]

[pic]

Пусть [pic],

т.е. применим преобразование Лапласа к [pic].

Т.к. [pic], то, подставляя значения интенсивностей, получаем:

[pic]

Ю [pic]

Ю [pic]

([pic] - корни [pic]=0)

Представляя каждую из полученных функций в виде суммы двух правильных

дробей, получаем:

[pic]

Применяя обратное преобразование Лапласа, получаем выражения для функций

[pic]:

Ю [pic]

Ю [pic]

Ю Искомая вероятность невыхода системы из строя за время t:

[pic],

где

[pic],

[pic]

Итак,

[pic],

где

[pic]

Определим теперь среднее время жизни такой системы, т.е. MT

(T - время жизни системы):

[pic]

Ю [pic]

[pic]