НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

Министерство образования Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Самарский государственный университет»

механико-математический факультет

кафедра дифференциальных уравнений и теории управления

специальность прикладная математика

Существование решения дифференциального уравнения и последовательные

приближения

Курсовая работа

Выполнил студент

2 курса 1222 группы

Труфанов Александр Николаевич

Научный руководитель

Долгова Ольга Андреевна

__________

работа защищена

«___»___________200_г.

Оценка _______________

зав. Кафедрой профессор д.ф.-м.н.

Соболев В.А.

Самара 2004

Теорема существования и единственности решения уравнения

Пусть дано уравнение

[pic]

с начальным условием

[pic]

Пусть в замкнутой области R [pic]функции [pic]и [pic]непрерывны). Тогда

на некотором отрезке [pic]существует единственное решение, удовлетворяющее

начальному условию [pic].

Последовательные приближения определяются формулами:

[pic] [pic] k = 1,2....

Задание №9

Перейти от уравнения

[pic]

к системе нормального вида и при начальных условиях

[pic], [pic], [pic]

построить два последовательных приближения к решению.

Произведем замену переменных

[pic]; [pic]

и перейдем к системе нормального вида:

[pic]

Построим последовательные приближения

[pic]

[pic]

Задание №10

Построить три последовательных приближения [pic] к решению задачи

[pic], [pic]

Построим последовательные приближения

[pic]

[pic]

Задание №11

а) Задачу

[pic], [pic]

свести к интегральному уравнению и построить последовательные

приближения [pic]

б) Указать какой-либо отрезок, на котором сходятся последовательные

приближения, и доказать их равномерную сходимость.

Сведем данное уравнение к интегральному :

[pic]

[pic]

[pic]

Докажем равномерную сходимость последовательных приближений

С помощью метода последовательных приближений мы можем построить

последовательность

[pic]

непрерывных функций, определенных на некотором отрезке [pic], который

содержит внутри себя точку [pic]. Каждая функция последовательности

определяется через предыдущую при помощи равенства

[pic] [pic]i = 0, 1, 2 …

Если график функции [pic] проходит в области Г, то функция [pic]

определена этим равенством, но для того, чтобы могла быть определена

следующая функция [pic], нужно, чтобы и график функции [pic] проходил в

области Г. Этого удается достичь, выбрав отрезок [pic]достаточно коротким.

Далее, за счет уменьшения длины отрезка [pic], можно достичь того, чтобы

для последовательности [pic] выполнялись неравенства:

[pic], i = 1, 2, …,

где 0 < k < 1. Из этих неравенств вытекает следующее:

[pic], i = 1, 2, …,

Рассмотрим нашу функцию на достаточно малом отрезке, содержащим [pic],

например, на [pic]. На этом промежутке все последовательные приближения

являются непрерывными функциями. Очевидно, что т.к. каждое приближение

представляет из себя функцию от бесконечно малого более высокого порядка,

чем предыдущее приближение, то выполняются и описанные выше неравенства. Из

этих неравенств следует:

[pic]

что и является условием равномерной сходимости последовательных

приближений.

С другой стороны, на нашем отрезке выполняется [pic], что также совершенно

очевидно. А так как последовательность [pic] сходится, то

последовательность приближений является равномерно сходящийся на этом

отрезке.

Список использованной литературы

1. Л.С. Понтрягин. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.:

Государственное издательство физико-математической литературы, 1961

2. А.Ф. Филиппов «Сборник задач по дифференциальным уравнениям», М.:

Интеграл-Пресс, 1998

3. О.П. Филатов «Лекции по обыкновенным дифференциальным

уравнениям»,Самара: Издательство «Самарский университет», 1999

4. А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева «Дифференциальные уравнения», М.: Наука.

Физматлит, 1998