НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Шпоры по математическому анализу

Шпоры по математическому анализу

1. Производные и дифференциалы высших порядков

Опр-ие: производной n-го порядка (n(2) функции у=f(х) называется

производная (первого порядка) от производной (n-1)-го порядка.

Найдя 1-ю производную можно определить 2-ю производную по тем же формулам,

по которым определяли первую.

Опр-ие: Дифференциалом n-го порядка функции у=f(х) называется дифференциал

первого порядка от дифференциала (n-1)-го порядка. (обозначается dny)По

определению dny= d(dn-1y). Иногда dy называют диф. Первого порядка. В общем

случае, dny=f(n)(х)dxn, в предположении, что n-ая производная f(n)(х) сущ-

ет, поэтому понятно, что n-e. Производную обозначают так

3. Теорема Ролля.

Теорема Ролля: Если функция у=f(х) непрерывна на замкнутом промежутке

[a,b], дифференцируема хотя бы в открытом промежутке (a,b) и на концах

промежутка ее значения совпадают f(a)=f(b), то внутри промежутка найдется

такая точка x=c, что f'(c)=0

Док-во: Если функция сохраняет постоянное значение на промежутке [a,b],

f(х)= f(a)=f(b), то f'(c)=0 и в качестве точки с можно взять любую точку

интервала (a,b).

Пусть теперь функция f(x) не является постоянной. По теореме Вейштраса

существуют точки х1 и х2 на отрезке [a,b] , в которых достигаются

наименьшее m и наибольшее М значения функции. Обе эти точки не могут быть

концевыми для отрезка [a,b], т.к. из условия f(a)=f(b) вытекало бы, что

m=М, следовательно, функция f(х) сохраняла бы постоянное значение, вопреки

предположению.

Допустим, что не совпадает с концом отрезка точка х1, т.е. a< х10, будет ?y:?x ?0, поэтому

При ?х0, будет ?y:?x ?0, поэтому

При ?х0), а

после точки х0 убывает (т.е. f'(х)0 при

х< х0 и f'(х) х0 , то в точке х0 имеется максимум.

Если в достаточно малой окрестности точки х0 f'(х)0

при х > х0 , то в точке х0 имеется минимум.

2. Перейдем к формулировке достаточного условия экстремума с помощью второй

производной. Предполагается, что в некоторой окрестности точки х0 , в том

числе и в самой точке х0 , существует первая производная f'(х). Кроме

того, в точке х0 существует вторая производная f''(х0). Исходя из

выполнения необходимых условий экстремума, полагаем, что f''(х0)=0.

Посмотрим теперь на f''(х)как на первую производную от функции

Допустим, что f''(х0)>0. Это означает, что f'(х) возрастает при переходе

значений х < х0 к значениям х > х0 . Но f'(х0)=0, поэтому возрастание

f'(х0)0, при х > х0 . (для значений х из достаточно

малой окрестности х0 ). В соответствии с п.1 получается минимум в точке х0

. Аналогичное рассуждение при f''(х0)0, то функция

y=f(x) имеет локальный минимум в точке х0.

11. Формула Тейлора и Маклорена.

Этой формулой можно воспользоваться, когда в некоторой окрестности точки х0

существует непрерывная производная f(n+1)(x), и значения х принадлежат этой

окрестности. Через Rn обозначен так называемый остаточный член. Его можно

записывать в разных формах. Мы ограничимся формулой Лагранжа:

Здесь с - какое-то число, о котором известно только то, что оно находится

между х0 и х.

При х0=0 формулу Тейлора называют формулой Маклорена, общий вид которой:

8. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

Рассмотрим функцию у=f(х), непрерывную на отрезке [a,b]. По теореме

Вейерштрасса эта функция принимает наибольшее и наименьшее значения на

отрезке. Наибольшее и наименьшее значения могут достигаться либо в точках

локального экстремума (x2, x3, x4, x5,), либо на концах промежутка. Находим

точки, подозрительные на экстремум (х1, x2, x3, x4, x5,). Вычисляем

значения функции в этих точках и на концах промежутка [a,b]. Из полученных

чисел выбираем самое большое и самое маленькое. Это не предусматривает

применения достаточных условий экстремума в точке х1, где локального

экстремума не существует, т.е. проделана лишняя работа. Однако, как

правило, экономнее вычислять значения функции во всех точках,

подозрительных на экстремум, вместо того, что бы отбирать из них с помощью

достаточных условий лишь те точки, в которых локальный экстремум

действительно есть. Иногда описанную задачу называю глобальный экстремум.

9. Нахождение асимптот графиков функции.

Говорят, что точка движется по кривой в бесконечность, если расстояние этой

точки до начала координат неограниченно возрастает.

Определение: Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от точки,

движущейся по кривой в бесконечность, до этой прямой стремится к нулю.

Нахождение вертикальных ас:

Ищутся конечные значения х=а, при которых

Существование такого значения часто связано с обращением в нуль знаменателя

дроби.

Нахождение наклонных асимптот.

Пусть y = kx+b - асимптота кривой y=f(x) при x>+? (как на рисунке). Угол ?

сохраняет постоянное значение, ?=?. Из ? KLM KM=ML? cos ?. Поэтому KM и ML

стремятся к нулю одновременно. ML=f(x)-(kx+b), следовательно (1):

Преобразуем это равенство, вынеся х за скобки:

При x>? такое равенство возможно только тогда, когда:

Здесь

Поэтому

Следовательно (получаем (2)),

Вычислив k, находим b. Из равенства (1)(получаем (3)

Существование пределов (2) и (3) не только необходимо, но и достаточно,

чтобы прямая y=kx+b была асимтотой кривой y=f(x). В частности, при k=0

асимптота будет горизонтальной. Кривая не имеет наклонной асимптоты, если

не существует хотя бы один из пределов (2) и (3).

13. Первообразная. Теорема о двух первообразных одной функции.

Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на

интервале (a,b), если на этом интервале существует производная F'(x) и

F'(x)=f(x).

Теорема: Если F1(x) и F2(x) - первообразные для одной и той же функции

f(x), то их разность есть величина постоянная.

Докозательство: По условию F'1(x)=F'2(x)=f(x) обозначим: Ф(x)= F1(x) -

F2(x). Очевидно, Ф'(x) равняется нулю во всем промежутке (a,b), где

определены первообразные F1(x) и F2(x). Для любых х1, x2,( (a,b) по формуле

Лагранжа Ф(х1)-Ф(х2)=Ф'(c)(b-a). но Ф'(c)=0, т.к. с( (a,b), следовательно

Ф(х1)=Ф(х2). Это означает, что Ф(х) сохраняет постоянное значение на

промежутке (a,b), т.е. F1(x) - F2(x)=С.

Следствие: Если для функции f(x) первообразной на интервале (a,b) является

функция F(x), то ее любая другая первообразная для f(x) имеет вид F(x)+C,

где С - произвольная постоянная.

14. Неопределенный интеграл. Табличные интегралы.

Определение: Неопределенным интегралом от функции f(x) называется

совокупность всех первообразных этой функции. Он изображается так: ?

f(x)dx, где ?- знак интеграла, f(x)dx - подынтегральное выражение,f(x) -

подынтегральная функция.

Из определения вытекает, что

И следовательно d(?f(x)dx)=f(x)dx. С другой стороны,

?F'(x)dx=?dF(x)=F(x)+C.

Если F(x) - какая-нибудь первообразная для f(x), то учитывая приведенное

выше следствие, можно написать: ? f(x) dx = F(x)+C, где С- произвольная

постоянная. Путем дифференцирования обеих частей равенства легко доказать

справедливость следующих свойств:

1. ? Аf(x)dx = A ? f(x)dx (постоянный множитель можно выносить за знак

интеграла).

2. ?[f(x)-f(x)]dx=?f(x)dx+?f(x)dx (интеграл от суммы функций равен сумме

интегралов от этих функций).

10. Схема исследования функции с помощью дифференциального исчисления и

построения графика.

Исследование функции y=f(x) проводится по плану:

1. Находится ООФ.

2. Вычисляются нули функции y=f(x), т.е. значения х1, x2…, при которых

f(x1)=0, f(x2)=0…Между нулями функция, как правило сохраняет знак, так,

непрерывная функция не может сменить знак не обратившись в ноль.

Устанавливают где f(x)>0 и f(x)0, функция возрастает, где

f'(x)0) и точка перегиба

(f''(x)=0).

5. Определяются вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

Рекомендуется вычислять значения самой функции в тех точках, где f'(x) и

f''(x) обращаются в нуль и наносить соответствующие точки на график. Затем

нанесеные точки плавно соединяется прямой с учетом всех результатов

исследования. Если функция обладает свойством четности или нечетности, то

можно использовать это обстоятельство при исследовании (или после

исследования для частичной проверки правильности построения графика).

21. Теорема о среднем значении для определенного интеграла.

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то найдется такая точка

?((a,b), что справедливо равенство:

Теорема верна и при b0 предел интегральных сумм вида :(R равен b-a, в то время, как для

равен нулю. Итак, для интегральных сумм разного вида пределы получаются

различные, зависящие от выбора точек на отрезках [xi, xi+1]. Это означает,

что функция Дирихле не интегрируемая.

З класса функции:

1. Функции непрерывные на отрезке [a,b].

2. Функции имеющие не более конечного числа разрывов 1-го рода на отрезке

[a,b]. (их называют кусочно-непрерывными)

3. Функции монотонные на отрезке [a,b] (у функции этого класса число

разрывов может быть бесконечным).

23. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о его непрерывности.

Теорма: Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то функция

непрерывна на этом отрезке.

Доказательство: Дадим числу х приращение ?х так, чтобы х+?х([a,b]. Для

наглядности изобразим на числовой оси один из возможных вариантов

расположения точек:

a x0 x х+?х b

Получим:

По теореме (Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке, то интегрируема и

абсолютная величина |f(x)|, причем

…(на этом теорема закончилась, но неравенство относится к ней.) и следствию

из теоремы (Если на отрезке [a,b] функция f(x) интегрируема и удовлетворяет

неравенству m(f(x)(M. То выполняются неравенства:

(на этом следствие из теоремы закончилось)

получаем:

Отсюда следует, что при ?х>0 будет ?F>0. Это доказывает непрерывность

функции F(x). Отметим, что для подынтегральной функции f(x) точка х может

быть точкой разрыва.

24. Теорема о произвольной от интеграла с переменным верхним пределом.

Теорема: Если функция y=f(x) непрерывна на промежутке (a,b), то производная

от интеграла

По переменному верхнему пределу x существует и равна подынтегральной

функции с заменой переменной интегрирования верхним пределом х, т.е.

F'(x)=f(x)

Доказательство: Дадим аргументу х приращение

?х так, чтобы х+?х((a,b). Для приращения ?F функции F(x) воспользуемся

формулой

и применим теорему о среднем значении ( Если функция y=f(x) непрерывна на

отрезке [a,b], то найдется такая точка ?( (a,b), что справедливо равенство:

Теорема верна и при ba). Если существует конечный

предел

То это предел называют несобственным интегралом от функции f(x) на

промежутке от а до +? и обозначают

Аналогично определяется интеграл от -? до b:

Интеграл от -? до +? можно определить так:

Где с - произвольное число.

Когда несобственный интеграл существует, говорят, что он существует или что

он сходится. В противном случае несобственный интеграл расходится.

40. Необходимые условия абсолютного экстремума функции двух переменных.

Теорема: Пусть функция z=f(x,y) имеет экстремум в точке (x0, у0). Если в

этой точке существуют частные производные по х и по у, то они равны нулю.

Докаательство: Оно может быть сведено к применению известной теоремы для

функции одной переменной. В наших условиях функция f(x,y0) имеет экстремум

в точке x0, т.к. неравенство f(х0+?х, y0+?у)?f(х0, y0), иначе ?f?0

Или ?f?0 должно, в частности, выполнятся и при ?у=0. Поэтому,

d/dx?f(x,y0)=0 при х=х0, а это то же самое, что f'x(х0, y0)=0. Аналогично

устанавливается, что f'у(х0, y0)=0. Экстремум возможен и тогда, когда одна

или обе частные производные не существуют, что тоже является необходимым

условием экстремума. Т.о., необходимые условия экстремума формулируются

так: для каждой из частных производных выполняется одно из двух - лиюл она

существует и равна нулю, либо она не существует.

31. Предел и непрерывность функции двух переменных.

Определение: Число А называется пределом по совакупности переменных функции

f(x,y) при стремлении х к х0 и у к у0, если для любого ?>0 существует такое

?>0, что для всех точек (x,y), координаты которых удовлетворяют

неравенствам | х - х0 |< ?, | y - y0 |< ? ( за исключением, быть может,

точки (х0, y0)), выполняется неравенство |f(x,y)-A| < ?. Применяется

обозначение

Заметим, что точка (х0, y0) может не принадлежать ООФ f(x,y).

Пусть функция f(x,y) определена в области D.

Определение. Если выполняются три условия:

1. (х0, y0)( D;

2. существует

3.

то функция называется непрерывной в точке (х0, y0).

Определение: Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, то функцию

называют разрывной в точке (х0, y0), а саму точку называют точкой разрыва.

Определение: Функция называется непрерывной в области, если она непрерывна

в каждой точке этой плоскости.

Определение: Функция z = f(x,y) называется непрерывной в точке (х0, y0),

если при стремлении к нулю приращений ?х, ?у, независимых переменных

стремится к нулю полное приращение ?z функции f(x,y) (здесь предполагается

выполнение условий 1 и 2.) (?z - полное приращение).

42. Условный экстремум, метод множителей Лагранжа для функции двух

переменных.

В этом методе не требуется выражать явно y через х , однако используется то

обстоятельство, что в случае предполагаемой замены y на g(x) дело сводится

к безусловному экстремуму функции одной переменной.

Итак, находим полную прозводную от z по х, считая y функцией х:

В точках экстремума dz: dx=0, следовательно (1),

Применим снова правило дифференцирования сложной функции к уравнению

?(x,y)=0. Будем предполагать при этом, что у заменен той самой функцией х,

которая неявно задается уравнением. Такая замена превращает уравнение

?(x,y)=0 в тождество. Получим (2):

Умножим (2) на неопределенный множитель ? и сложим с (1):

Мы будем предполагать, что в точке экстремума ((((у((. Тогда существует

число (, при котором (f((y + ((((((у) = 0 в этой точке. Из равенства (3)

следует, что в этой точке (f((х + ((((((х) = 0

Мы приходим к необходимым условиям экстремума (4):

В этой системе из трех уранений три неизвестные величины x, y и (. Из

системы находятся одна или несколько точек (х,у). Что касается (, то этот

множитель играет вспомогательную роль и дальше не требуется. Найденные

точки (х,у) проверяют на наличие в них экстремума и его вид (максимум или

минимум). В случае необходимости вычисляются значения f(x,y) на концах

промежутка, ограничивающего изменение х при описании кривой АВ. Часто из

существа задачи легко решается вопрос, с каким из значений - наибольшим или

наименьшим - мы имеем дело. Проведенные рассуждения обосновывают метод

Лагранжа, который состоит в следующем.

Составляется вспомогательная функция

F (x,y,() = f(x,y) + (((x,y) (5), называемая функцией Лагранжа. Для нее

выписываются как для функции трех переменных необходимые условия

абсолютного экстремума:

При этом получается в точности система (4).

Коэффициент ( называют множителем Лагранжа.

Метод Лагранжа допускает обобщение на функции большего числа переменных.

Так, в задаче на условный экстремум функции u=f(x,y,z) с ограничениями

(1(x,y,z)=0 и (2(x,y,z)=0 функция Лагранжа имеет вид:

F(x,y,z, (1, (2) = f(x,y,z) + (1(1(x,y,z)+ (2(2(x,y,z).

Нулю приравниваются все произвоные по x,y,z, (1, (2.

41. Достаточные условия абсолютного экстермума функции двух переменных.

Обратимся к формуле Тейлора (вопр. 11). Нас интересует случай, когда

необходимые условия экстремума выполняются, т.к. в противном случае вопрос

решается однозначно - экстремума нет. Поэтому будем считать:

И, перенеся f(х0,y0) в левую часть, получим слева

Кроме того, обозначим

Приводим к формуле:

Положим u = A?x2 + 2B?x?y +C?y2 При ?>0 квадратичная форма u убывает со

скоростью р2, т.е. быстрее. Поэтому в достаточно малой окрестности точки

(х0,, y0) ,будет выполнятся неравенство 1/2|u|>|R|(если u не обратится в

нуль). Это означает, что знак приращения совпадает со знаком u. Разумеется,

в точках, где u=0, знаки ?f и R совпадают. Имеются 3 возможности:

1. Величина u сохраняет знак, обращаясь в нуль только при ?x=?y=0. Такая

квадратичная форма называется знакоопределенной. В этом случае сохраняет

знак и приращение ?f . При ?f?0 в точке (х0,, y0) имеется максимум, а

при ?f?0 - минимум.

2. В любой оокрестности точки (х0,, y0) величина u принимает как

положительные, так и отрицательные значения. Такая квадратичная форма

называется знакопеременной. В этом случае меняет знак и приращение ?f .

Экстремума нет.

3. Величина u сохраняет знак, но обращается в нуль не только в начале

координат. Такая квадратичная форма называется знакопостоянной. В этом

случае никакого вывода сделать нельзя без исследования остаточного члена.

Если в точках названной прямой остаточный член меняет знак, то экстремума

нет, если сохраняет тот же знак, что и величина u - экстремум есть, если

сохраняет знак противоположный u - экстремума нет.

Дело свелось теперь к установлению условий, при которых квадратичная форма

u является знакоопределенной, знакопеременной или знакопостоянной. Если А =

С = 0, В ( 0, то u = В?х?у, и квадратичная форма является знакопеременной.

При совпадении знаков ?х и ?у она имеет знак В, при несовпалении - знак

противоположный знаку В. В этом случае экстремума нет. Если к тому же В =

0, вопрос об экстремуме решается путем исследования остаточного члена R в

каждом конкретном случае.

Пусть теперь хотя бы одна из величин А, С отлична от нуля. Положим для

определенности, что А ? 0. Преобразуем форму u: вынесем за скобки А,

прибавим и вычтем (В(А ?у)2. Первые три слагаемых представляют полный

квадрат, два последних приводим к общему знаменателю:

1. Если В2 - АС 0, то форма знакопеременная. Действительно, выражение в

квадратных скобках останется ?x2 и если ?х?0., то ?x2 > 0; при ?у?0 можно

взять ?х = -В/А?у и выражение в квадратных скобках будет отрицательным.

3. Если В2 - АС = 0, то форма знакопостоянная. В скобках останется

выражение (?х+В/А?у)2, которое неотрицательно. Но в нуль оно обращается не

только при ?х=?у=0, а и тогда, когда ?х = -В/А?у, при любом ?у.

33. Частные производные.

Наряду с полным приращением функции вводится понятие частных приращений по

х ?хz и по у ?уz. Они определяются формулами, где приращение дается только

одной из переменных.

Определение: Частной производной функции f(x,y) по х называется предел

отношения частного приращения ?хz к приращению ?х, когда х>0 (если этот

предел существует)(1)

Аналогично определяется частная производная функции z=f(x,y) по у. Для

частной производной функции нескольких переменных, производную функции

одной переменной называют переменной иногда обыкновенной.

Формуле (1) можно дать такое толкование: у функции f(x,y) фиксируется

значение переменной у и получается, что f(x,y) становится функцией одной

переменной х, а частная производная - обыкновенной производной этой

функции. Так же истолковывается формула для f'y(x,y) с той разницей, что

f(x,y) рассматривается как функция одной переменной у. Мы приходим к

следующему правилу.

Для вычисления частной производной по х следует переменную у (или другие

переменные, если их несколько) считать постоянной и вычислять производную

по х как обыкновенную.

Аналогично формулируется правило вычисления частной производной по у.

32. Свойства непрерывных функций двух переменных.

1. Функция, непрерывная в замкнутой ограниченной области D а) ограничена в

области

б) достигает в этой области наибольшего М и наименьшего m значений.

2. Сумма, произведение и частное непрерывных функций есть снова непрерывная

функция, если в последнем случае делитель не принимает нулевого значения.

19. Определенный интеграл. Определение. Геометрический смысл.

Определение: Пусть дана функция y=f(x), ограниченная на отрезке [a,b]

(a0. Независящий от

выбора разбиений R и выбора точек ?i, то он называется определенным

интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] и обозначается (1)

Добавление к определению:

1. При a>b полагают

2. принимают

В интеграле (1) числа a и b называются соответственно нижними и верхними

пределами интегрирования. Если функция f(x) ?0 на отрезке [a,b], то

геометрический смысл определенного интеграла - это площадь криволинейной

трапеции. Пусть на промежутке [a,b] задана ограниченная функция y=f(x),

будем считать ее положительной.(рис 1)

Фигура aABb, ограниченная графиком функции y=f(x), отрезком [a,b] оси х и

перпендикулярами аА и bB к оси х, называется криволинейной трапецией.

Измерить ее площадь непосредственно путем установления того, сколько раз в

этой фигуре укладывается единица измерения площади (квадрат со стороной,

равной единице), и доли этой единицы невозможно из-за криволинейной верхней

границы.

Разобьем отрезок [a,b] на части (не обязательно равные) точками хi (i =

0,n): а=х0< x1< x20, то ломаная L будет все теснее прижиматься к кривой АВ. Это дает

возможность ввести следующее определние.

Определение: Площадью криволинейной трапеции aAАb называется предел, к

которому стремится площадь (R ступенчатой фигуры когда число делений

разбиения R не ограничено возрастает и ?R >0 (Если этот предел существует и

не зависит от способа получения разбиения R и выбора точек ?i).

28. Вычисление площади фигуры и длины дуги с помощью определенного

интеграла.

f(x)?0

Рассмотрим два случая.

1. площадь S заштрихованной фигуры на рис 1, а, где функция y=f(x) на

отдельных промежутках принимает отрицательное значение, выражается

формулой:

2. Площадь S фигуры ограничена графиками функции y=f(x) и y=g(x), а так же

прямыми АВ и CD (рис 2) вычисляется по формуле:

Определение: Пусть дана дуга кривой АВ. Нанесем на нее произвольные точки

Mi (i=0,n) и соединим их хордами (рис 3). Периметр полученной ломаной

обозначим Pn. Будем увеличивать число точек Mi на дуге. Длиной дуги кривой

АВ называется предел периметра Pn, когда длина наибольшей хорды стремится к

нулю (если этот предел существует и не зависит от выбора вершин ломаной).

Если дуга задана уравнением y=f(x) на промежутке [a,b] (ищем длину дуги l).

Будем считать функцию f(x) непрерывно дифференцируемой. Положенеи

произвольных точек Mi определим выбрав абциссы этих точек, т.е. сделав

разбиение R отрезка [a,b] точками а=х0< x1< x20, и противоположное, если

?<0.

Векторы называются коллиниарными, если они лежат на совпадающих прямых.

Если векторы ? и в коллиниарны (?(0; в(0), то они пропорциональны, т.е.

существует такое положительное или отрицательное число (, что а=(в.

Три вектора называются компланарными, если их можно уложить на одну

плоскость.

9. Скалярное произведение и его свойства.

Скалярным произведением векторов а и в называют произведение их длин и

косинуса угла между ними.

(а,b)=|a|(|b|(cos(a,b)

Свойства:

1. Коммуникативность. (а,в)=(в,а)

2. Дистрибутивность. (а+в)((с)=(а(с)+(в(с)

3. ((а,в)=(а,(в) - скалярный множитель можно выносить за знак скалярного

произведения.

4. Скалярное произведение (а,в) равно 0 тогда и только тогда, когда они (

или один из них=0

Док-во: cos 90 = 0

8. Длина и направляющие косинусы вектора, заданного координатами. Орты.

Радиус-вектор точки.

Векторы единичной длины, направленные по осям координат называют ортами и

обозначают i (по оси Ох) j (по оси Оу). В 3х-мерном пространстве берется

еще k (по оси z) Проекции ах и ау вектора а на оси х и у называют

координатами вектора а. Углы вектора а с осями координат - ( и (, тогда ах

=|a|(cos( - направляющие

ау =|a|(cos( косинусы

(,( - задают направление.

Величины cos( и cos( называются направляющимикосинусами вектора а. Зная

координаты ах и ау , можно вычислить модуль и направляющие косинусы: cos(=

ах(|a|, cos(( ау(|a|

Очевидно, что |a| = (ах2 +ау2

Вектор ОМ, выходящий из (0;0) и оканчивающийся в т. М(х,у) называют радиус-

вектором т.М. Координаты х и у т.М. так же являются координатами вектора

r=ОМ. Поэтому r=хi+уj. Принято так же писать r ={х,у}

Длина вектора в 3х-мерном пространстве измеряется по формуле

|a|= ( ах2 +ау2 +аz2

Векторное произведение и его свойства.

Результатом векторного умножения вектров является вектор. Векторное

произведение векторов а и в обозначается так: (а,в( или а(в.

Векторным произведением векторов а и в называется вектор с= (а,в(, для

кот.:

1. длина численно равна площади параллелограмма, построенного на этих

векторах, т.е. |c|= |a|(|b|(sin(ab)

2. прямая, несущая вектор, ( каждому из перемножаемых векторов,т.е.

плоскости указанного параллелограмма

3. направление на этой прямой выбирается так, что бы при взгляде с конца

вектора с поворот первого множителя а на наименьший угол до совмещения со

вторым множителем в производился бы против часовой стрелки ( такая тройка

векторов а,в,с, называется правой)

Если а и в коллиниарны, то с=0 и вопрос о направлении с отпалдает.

Свойства:

1. в(а = - а(в, т.е. векторное умножение некоммуникативно

2. ((а(в(=(а,(в(=((а,в(

3. (а+в)(с=а(с+с(в, т.е. векторное умножение дистрибутивно

i j k ау аz ах аz ах ау

а(в= ах ау аz =i ву вz - j вх вz +k вх ву

вх ву вz

11. Смешанное произведение векторов. Его геометрический смысл.

Под смешанным произведением (векторно-скалярным) векторов а,в,с, понимают

число авс=(а,в((с

Выясним геометрический смысл смешанного произведения. Пусть S=(а,в(

|S|- площадь основания паралл-да

H -высота паралл-да

H= |c| (|cos(|, где ( - острый или тупой угол между векторами S и С.

авс=(s,c)=|s|(|c|((= |s|((±H)=±V - объем параллелепипеда.

Знак "+" получается, если тройка а,в,с правая и "-", если левая(Абсолютная

величина смешанного произведения авс численно равна объему парал-да,

построенного на векторах а,в,с.

Исходя из геом. Смысла, получаем необходимое и дополнительное условие

компланарности векторов а,в,с, а именно авс=0

Координатная формула величины см. произведения векторов.

а={ах ау аz}, в={вх ву вz}, с={сх су сz}:

ах ау аz

авс= вх ву вz

сх су сz

12.Формулы расстояния между двумя точками и длина отрезка в заданном

отношении.

Расстояние между точками М1 и М2вычисляется как модуль |М1 М2| вектора М1

М2.

М1 М2=| М1 М2|=?(х2 -х1)2 + (у2 -у1)2

Нахождение координат точки, делящей отрезок М1 М2 в заданном отношении

М1N(N М2 = p(число р задано)

Известно ,что || прямые K1М1 ;

NL ; K2М2 рассекают стороны угла M2AK2 на пропорциональные отрезки:

p=М1N(N М2=K1L(LK2 или х-х1(х2-х1=p(х=х1+pх2(1+p;y=у1 +pу2(1+p

в частности координаты середины отрезка (p=1)

x= х1 +х2(2

у= у1 +у2(2

13. прямая линия на плоскости: общее уравнение, уравнение с угловым

коэфициентом, уравнение в отрезках.

Общее уравнение прямой линии - Ах+Ву+С=0, где коэфициенты А, В, С - какие-

либо числа, переменные х, у называют текущимикоординатами точки, лежащей на

прямой. Некотоорые коэфициенты могут равняться 0, однако хотя бы одно из

чисел А, В должно быть отлично от 0, т.е. А2+В2(0, иначе в уравнении

исчезнут обе текущие координаты

у=kх+в - уравнение прямой с угловым коэфициентом

k=tg(, где ( - меньший из неотрицательных углов, образуемых прямой с

положительным направлением оси Ох (0(((((((((()

геом. смысл коэфицтентов

уравнение в отрезках

заданы ненулевые отрезки а и в, отсекаемые прямой на осях координат. По

условию точки (а;0) и (0;в) лежат на прямой. Воспользуемся уравнением

х - х1 у - у1

х2-х1 у2- у1

где х1=а у1=0

х2=0 у2=в

14. Уравнение прямой, проходящей через одну заданную точку, через 2 точки.

у - у1=k(х - х1)

уравнение прямой: у=kх+в

Если мы преобразуем первоначальное уравнение у - у1=k(х - х1), то получим

у=kх+( у1-kх1) Оно удовлетворяет условия уравнения прямой : у=kх+в, т.к.

1. его степень первая, а значит оно может быть прямой,

2. прямая проходит через точку (х1; у1), т.к. координаты этой точки

удовлетворяют уравнению : 0=0

3. роль коэфициента в играет выражение у1-kх1

Прямая с уравнением у - у1=k(х - х1) проходит через 1 точку. Потребуем, что

бы и вторая точка лежала на этой прямой, т.е. что бы выполнялось равенство

у2 - у1=k(х2 - х1). Отсюда находим k= у2 - у1( х2 - х1 и подставим в

уравнение:

у - у1 = у2 - у1( х2 - х1((х - х1) или

х - х1(х2 - х1= у - у1(у2 - у1

15.Угол м/у прямыми на плоскости

Прямые: у=k1х +в1, у=k2х +в2

В тр-ке АВС сумма внутр. углов (1+( равна внешнему углу (2 поэтому (=(2-

(1Очевидно, tg(1= k1; tg(2= k2.Проименяя формулу для tg разности 2х углов

получим tg(=tg((2-(1)= tg(2-tg(1(1+ tg(2(tg(1

Окончательно имеем tg(= k2- k1(1+k2((k1Вычислив тангенс можно найти и сам

угол (.

16. Условия || и ( прямых на плоскости.

Даны уравнения прямых с угловым коэф. у=k1х и у=k2х +в2

Условия || прямых -это равенство угловых коэф. к1=к2 (1)

Условие (1) выполн. и для слившихся прямых. Формулу углового коэф. прямых

(tg(= k2- k1(1+k2((k1) можно записать ввиде: ctg(= 1+k2((k1(k2- k1 (это в

сслучае, если к1(к2). Условие ( прямых выражается равенством k2((k1= -1.

Если к1=0 или к2=0, то одна из прямых || оси Ох, а вторая ей (, имеет

уравнение вида х=а.

Пусть прямые заданы общим уравнением. А1х+В1у+С1=0, А2х+В2у+С2=0, Если

В1=В2=0, то обе прямые параллельны оси Оу и между собой (их уравнения имеют

вид х=а) Если В1=0, а В2(0, то прямые(. В случае когда А2=0 (уравнение

приводится к виду х=а, у=в)В случае В1(0 и В2(0можно выразить у в каждом

уравнении. у= -А1х(В1-С1(В1;

У= - А2х(В2-С2(В2, тогда к1= -А1(В1, а к2= - А2(В2 и условие || А1(В1=

А2(В2 или А1(А2= В1(В2.

С помощью равенства 1+к1(к2=0, 1+ А1(В1( А2(В2=0. Приходим к условию

(прямых А1(А2+В1(В2=0.

17. Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний

которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная

(большая расстояния между фокусами)

Уравнение элипса примет самый простой вид, если фокусы разместить на оси Ох

слева от начала координат на равном от него расстоянии. F1 F2 - фокусы

эллипса. Обозначим F1F2 = 2c тогда фокусы имеют координаты (-с,0) и (с,0).

Расстояния о фокусов до текущей точки эллипса М обозначим r1 и r2. Их

называют фокальными радиусами. Постоянную величину r1 + r2 обозначим 2а: r1

+ r2 =2а. помещая точку М в точки и А' легко сообразить, что А'А = 2а.

Отрезки AA' и ВВ' называются осями эллипса, а отрезки ОА и ОВ - полуосями

эллипса. Точки А,А',В,В' называют вершинами эллипса. Пусть М(х,у)находится

в точке В, тогда r1 = r2 =а. Из тр-ка ВОF2 ВО=(BF22-OF22 Обозначим ВО=в,

тогда в=(а2 - с2 . Через полуосиэллипса а и в уравнение запишится так:

[pic]Это уравнение называют каноническим уравнением эллипса. Окружность -

частный случай эллипса, получается при а=в=R(R - радикс окружности). Чем

больше отличаются друг от друга полуоси а и в, тем более сплюснутым будет

эллипс. Степень сплюснутости эллипса принято измерять эксцентриситетом

[pic]

Очевидно, 0(?((. При ?=0 имеем окружность, с увеличением ?эллипс все больше

отличается от окружности, становясь более выпуклым.

18. Гипербола

Гиперболой называется геом. место точек плоскости , для которых абсолютная

величина разности расстояний до двух данный точек, называемых фокусами,

есть величина посоянная, не равная 0 и меньшая расстояния между фокусами.

Фокусы F1 и F2 снова расположим на оси Ох в точках (-с,0), (с,0). Отрезки

F1М = r1 и F2М = r2 называют фокальными радиусами. По определению |r1 - r2

| есть величина постоянная. Обозначим ее 2а: |r1 - r2| =2а. Точки А и А'

называют вершинами гиперболы. Легко понять, что АА' =2а. Действительно, для

точки А r1 =АF1 а r2 =АF2. Очевидно, АF2=А'F1,поэтому r1 - r2 = АF1-АF2=

АF1=А'F1 = А'A. С другой стороны r1 - r2 =2а. Отрезок АА' называют

действительной осью гиперболы. Пусть в=(с2-а2 Точки В и В' имеют

координаты(0,в) и (0,-в). отрезок ВВ' называют мнимой осью гиперболы.

Канонической уравнение гиперболы имеет вид:

[pic]

у гиперболы 2 ветви, при а=в гиперола называется равнобочной. Уравнения

у=вх(а и у=-вх(а. Они называются асимптотами. Если точка удаляется по любой

из ветвей гиперболы, то ее расстояние до соответствующей асимптоты

стремиться к 0. Для гиперболы эксцентриситет [pic]принимает зн-ия большие

1.

19. Парабола.

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных

от данной прямой, называемой директрисой, и от данной точки, не

принадлежащей директрисе, называемой фокусом. Обозначим расстояние между

фокусом и директрисой через р. Канонической уравнение параболы имеет вид:

у2=2рх и получается, если фокус F поместить в точку (р(2, 0), а в качестве

директрисы взять прямую х = - р(2. Число р называют параметром параболы,

точку (0,0) - ее вершиной.

20. Плоскость в пространстве: общее уравнение, геометрический смысл

коэфициентов, уравнение плоскости., проходящей через заданную точку

пространства.

Общее уравнение плоскости: Ах+Ву+Сz +D=0, в котором хотя бы один из

коэффициентов А,В,С отличен от 0. Эти коэффициенты имеют опред. Геом. смысл

Зададим положение плоскости с помощью некоторой точки М0(х0,у0,z0) и

ненулевого вектора N(А,В,С), перпендекулярного плоскости. По этим данным

плоскость определяется однозначно. Пусть М(х,у,z) - текущая точка

плоскости. Векторы N(А,В,С) и М0М(х-х0,у-у0,z-z0) ортогональны, поэтому их

скалярное произведение равно )

А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0 (1)

После преобразований получаем уравнение:

Ах+Ву+Сz+D=0, где D = -Ах0-В0-Сz0

Следовательно, А,В,С - координаты вектора, перпендекулярного плоскости,

заданной общим уравнением.

Множество плоскостей, описываемых уравнением (1), при фиксированной точке

(х0,у0,z0) и переменных коэфициентах А,В,С называются связкой плоскостей.

Когда среди условий, задающих искомую плоскость, значится ее точка

М0(х0,у0,z0), можно начинать решение задачи с применения уравнения (1).

Плоскость так же называют поверностью первого порядка.

23. Сфера,

Сфера. Уравнение сферы, центр которой находится в начале координат:

х2+у2+z2=R2. Пусть теперь центр расположен в точке М0(х0,у0,z0)

Текущая точка М(х,у,z) сферы находится на расстоянии R от т. М.

Из равенства ММ02=R2 получаем: (х-х0)2+(у-у0)2+(z-z0)2=R2

Эллипсоид канонич. уравнение:

[pic]- а,в,с - полуоси эллипсоида. При а=в получается эллипсоид вращения.

Такую форму имеет поверхность нашей планеты. При а=в=с эллипсоид

превращается в сферы радиуса R=а

Параболоид вращения

В плоскости уОz рассмотрим параболу у2=2рz. Поверхность, образованная

вращением этой параболы вокруг оси Oz называется параболоидом вращения.

Пусть М(х,у,z) - произвольная точка поверхности, а М0 - точка с той же

аппликатой z, лежащая на параболе у2=2рz. Т.к. О'М=О' М0, то у2 для точки

М0 можно заменить в уравнении на х2+у2 для точки М: х2+у2=2рz - уравнение

параболоида вращения

21. Уравнение прямой линии в пространстве.

Прямую линию в пространстве можно задать как линию пересечения двух

непараллельных плоскостей А1х+В1у+С1 z +D1=0 и А2х+В2у+С2 z +D2=0.

Рассмотрим случай, когда прямая задана своей точкой М0(х0,у0,z0) и

направлением р=(l,m,n). Пусть М(х,у,z) - текущая точка прямой, векторы М0Ми

р должны быть коллиниарны, поэтому:

х-х0(l=у-у0(m=z-z0(n (1)

получили каноническое уравнение прямой. Разрешается одной и даже двум

величинам в знаминателе обращаться в 0.В этом случае используют свойства

пропорции.

х-х0(l=у-у0(m=z-z0(n=t

приравнивая величине t каждое из отношений по отдельности, выразим х, у, z:

х= х0+lt, y= у0+mt, z= z0+nt. Получили параметрические уравнения той же

прямой.

С помощью (1) можно написать уравнение прямой, проходящей через 2 заданные

точки М1(х1,у1,z1) и М2(х2,у2,z2). Одну из этих точек, например М1 можно

принять за М0, что даст возможность написать числители в (1). Осталось

определить направление прямой. Для этого используют вектор М1М2(х1-х2,у1-

у2,z1-z2) его координаты принимают за числа l,m,n В результате приходим к

уравнениям:

х-х0( х1-х2 =у-у0(у1-у2=z-z0( z1-z2

22. Условия || и ( прямых на плоскости.

Пусть даны две прямые х-х1(l1=у-у1(m1 =z-z1(n1 и х-х2(l2=у-у2(m2 =z-z2(n2 и

две плоскости А1х+В1у+С1z+D1=0 и А2х+В2у+С2z +D2=0. Вспомним, что векторы

р1={l1,m1,n1} и р2={l2,m2,n2} имеют направления прямых, а векторы

N1{А1,В1,С1} и N2{А2,В2,С2}ортоганальны соответствующим плоскостям. Кроме

того, воспользуемся условиями коллиниарности и ортоганальности двух

векторов:

1.Условие параллельности прямых.

l1(l2 =m1(m2 =n1(n2

2. Условие параллельности плоскостей

А1(А2 =В1(В2 =С1(С2

3. условие перпендекулярности прямых(скалярное произведение и р1и р2=0)

l1+l2 =m1+m2 =n1+n2=0

4. условие перпендекулярности плоскостей

А1+А2 =В1+В2 =С1+С2=0

4. условие перпендекулярности прямойи плоскости( коллиниарность векторов

р1и N1)

l1(А1 =m1(В1 =n1(С1

5. Условие параллельности прямой и плоскости ( ортогонтальность векторов

р1и N1)

l1+А1 =m1+В1 =n1+С1=0

-----------------------

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]