НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Шпора по математическому анализу
Шпора по математическому анализу
|13. Линейные | |10. Линейные неодн| |Лекция №7 |
|неоднородные диф | |ДУ n-го порядка с | |1.Определение ( |
|ур-я n-го порядка | |перем коэф. | |решения. |
|с правой частью | |1)Теорема (я и | | |
|квазимногочлена. | |ед-ти решения нач | |Предп. что |
|1)Квазимногочлены | |задачи | |рассматр. нач. |
|и их свойства | |2)Теорема об общем| |задача вида |
|2)Правило | |решении | |(1)-(2) |
|нахождения | |3)Метод Лагранжа | |у(=f(x,у)(1) |
|частного решения в| |вариации произв | |у(х0) =у0(2) |
|нерезонансном | |пост | |f(x,у) – непр. по |
|случае | |4)Ф-я Коши и её | |совокупн. решенных|
|3)Правило | |св-ва | |предполог., что |
|нахождения | | | |f(x,у) рассматр. |
|частного решения в| |1:)Теорема (я и | |на прямоугольнике |
|резонансном случае| |ед-ти решения нач | |D= | |теоремой ( и | |Проинтегр. рав-ва |
|pj(x)=0, (j=1..k | |единств реш нач | |у((х) и для z((х) |
|(5). Проведём | |зад. | |у(х)=y0+(x0,x)?ds |
|ММИ: | |n-го порядка и | |(11) |
|1)k=1;f(x)=e([1]xp| |системой из | |z(x)=z0+(x0,x)?ds |
|2)Пусть многочлен | |порядка: возьмём | |(12) |
|вида (3)=0. | |уравнение 2-го | |вычтем. почленно |
|Разделим (3) на | |порядка с непр | |из (11)-(12) и |
|e([k]x: | |коэф: | |оценим разницу по |
|e(([1]-([k])xp1(x)| |y’’+p(x)y’+q(x)y=f| |иодулю: |
|+e(([2]-([k])xp2(x| |(x). | |у(х)-z(x)=y0-z0+(x|
|)+...+pk=0. Пусть | |y1(x)=y(x);y2(x)=y| |0,x)?|
|многочлена. Если | |y1’(x)=y’(x)=y2(x)| |ds (13) |
|продифференцироват| |; | ||y(x)-z(x)| | |неодн ур-я (1) | |огда посднее н-во |
|gj(x)(0. Если при | |имеет след вид: | |м-но зап-ть в |
|p=0 получ 0, то | |y=c1y1(x)+...+cnyn| |след. виде |
|дифференциальный | |(x)+z(x) (5), где | |U(x) (5) – | |решение (1) при | |м-но вып-ть оценку|
|д-но | |(c1,...,cn. Вся | |ф-ции U(x) если |
|Тхеоремена | |первая часть (5) –| |ф-ции у(х) и z(x) |
|доказякана | |решение (3). | |это точные реш-я, |
| | |Добавл к нему | |то (,(,( =0 |
|2:)Правило | |частн реш z(x), | ||y(x)-z(x)| | |Перенося z – | |3 Зависимость от |
|коэффициенты g(x) | |вправо, получ (5).| |правой части |
|определяются | |Теорема доказана. | |если у(х) и z(x) |
|однозначно. | |Общее решение | |это точное реш-е |
|Д-во: | |однородного | |но разных задач, |
|L(p)y=e(xp(x). | |уравнения есть ( | |то в этом случае |
|Учитывая (8), | |общ решения соотв | |(=(=0, (>0 и м-но |
|получаем: | |однор ур-я, и | |оценить разницу |
|L(p){e(xg(x)}=e(xp| |какого – либо | |между у(х) и z(x) |
|(x). Применим к | |частн решениия | | |
|лев части ф-лу | |неодн ур-я. | ||y(x)-z(x)|0(сост матр | |метод численного |
|L(p+(){xkg(x)}=p(x| |из игриков) => это| |интегрир. нач-ой |
|). Нужно найти | |система имеет | |задачи. Для этого |
|g(x), удовл | |единственное | |весь пр-к опред-я|
|последн ур-ю. Т.к.| |решение. Проверим,| |ф-ии по х разб. на|
|(-корень хар ур-я,| |что (6) при вып | |части х0 0 то в силу|
| | | | |непр. ф-ции f(x,у)|
| | |ci(x)=(Wi(x)/W(x))| |: |
| | |f(x) (11), i=1..n;| ||f(x,у)- |
| | |Wi – | |f(x,z)|0 (непр. по |
| | |в i-м столбце. | |совок. переменных)|
| | |ci(x)= | |M=maх|f(x,у)| |
| | |ci+(x0..x)((Wi(s)/| |Д-во |
| | |W(s))f(s)ds, | |Из (25) вытекает |
| | |i=1,…,n (12). | ||y(((x)-f(x,у((x))|
| | |Подставим в (6): | || |
| | |y=(i=1..n)(ciyi(x)| |=|f(xi,уi)-f(xi,уi|
| | |+(i=1..n)(((x0..x)| |)+(x-xi)f(xi,уi))||
| | |((Wi(s)/W(s))f(s)d| |<=( (26) |
| | |s)yi(x)=(i=1..n)(c| ||x-xi|<=(; |
| | |iyi(x)+(x0..x)((i=| ||x-xi||f(xi,уi)|<=|
| | |1..n)((Wi(s)/W(s)f| |(M |
| | |(s))y(x)ds) (13) | |При достаточно |
| | |K(x)=(i=1..n)((y(x| |малом шаге |
| | |)Wi(s))/W(s) (14);| |ломаная Эйлера |
| | |x,s((a;b) | |становится ( |
| | |y=(i=1..n)(ciyi(x)| |решением |
| | |+(x0..x)(K(x,s)f(s| |6 Оценка |
| | |)ds (15) – | |погрешности метода|
| | |интегральный | |ломаных Эйлера |
| | |оператор | |Предп. что f(x,у) |
| | | | |удовл. усл. Лищица|
| | | | |по кажд. |
| | | | |переменной |
| | | | |т.е. разница : |
| | | | ||f(x,у) |
| | | | |–f(s,z)|<=k|x-s|+L|
| | | | ||y-z| (27) |
| | | | |Вэтом случае |
| | | | ||y(((x)-f(x,у((x))|
| | | | ||=|f(xi,yi)-f(x,yi|
| | | | |+(x-xi)f(xi,уi)|<=|
| | | | | |
| | | | |( в кач-ве у(х) |
| | | | |выбир. отн. Эйлера|
| | | | |) |
| | | | |<= |
| | | | |k|x-xi|+|x-xi|LM<=|
| | | | |(k+(()(( (28) |
| | | | |Восп. соотн. (20) |
| | | | |Пусть сетка будет |
| | | | |равномерной |
| | | | ||y(x)-y((x)|<=(((k|
| | | | |+ML)()/h)(eL|x-x0||
| | | | |-1) (29) |
| | | | ||y(x)-y((x)|<= |
| | | | |h(M+k/h)(eL|x-x0|-|
| | | | |1) (30) |
| | | | |Оценка (30) наз-ся|
| | | | |оценкой первого |
| | | | |пор-ка точности. |
| | | | |Задаваясь опред. |
| | | | |точностью и зная |
| | | | |числа k,M,L можно |
| | | | |определить h таким|
| | | | |обр. чтобы посл. |
| | | | |произв. было <(. |
| | | | |Тогда соотв. и |
| | | | |разн. между ф-ей |
| | | | ||y(x)-y((x)|<( |
| | | | |(32) |
|