НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Ряды

Ряды

Фун 2 числовых аргументов.

Пусть имеется Е (х1;у1) – элементы принадлеж точке Е

Сущ закон или правило по которому каж точке (xi;yi) ставится в соот-е число

Wi или любой точке (xi;yi) или паре чисел ставится в соот-е zi след-но

zi=F(х;у), где Е-обл опред-я F(х;у).

Если рассмот-ть точку (хi;уi) и нашли соот-е значения zi=F(хi;уi).

Пусть точка (х0;у0)(Е дельта окрест-ю точки (х0;у0) наз множество точек

(х;у) удовлетвор-х нерав-у

(((х-х0)+(y-y0)( 0 сущ-ет ( окрест-ть точки (х0;у0) такая, что при всех

(х;у)(( окрест-ти будет выполн нерав-во (((х-х0)2+(y-y0)2( lim (Xn(Yn)=a(b (n(()

Док-во: lim Xn=a => Xn=a+(n; lim Yn=b => Yn=b+(n;

Xn ( Yn = (a + (n) ( (b + (n) = (a ( b) + (( n( bn) => lim(Xn(Yn)=a(b

(n(().

2)limXnYn = lim Xn * lim Yn (n(().

3)lim Xn=a, lim Yn=b (n(() => lim Xn/Yn =

(lim Xn)/(lim Yn) = a/b.

Док-во: Xn/Yn – a/b = (a+(n)/(b+(n) – a/b = (ab+(nb–ab–a(n)/b(b+(n) =(b(n-

a(n)/b(b+(n)=(n => Xn/Yn=a/b+(n => ( lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn)

(n(().

Все св-ва и правила вычисл-я такие же как для 1 переменной.

Непрерывность фун в точке.

Опр: Пусть точка М0(х0;у0) ( обл опр-я фун-и f(х;у). Фун-я z=f(х;у) наз

непрерывной в точке М0(х0;у0), если имеет место равенство

limх(х0(у(у0)f(х;у)=f(х0;у0) или lim(х(0((у(0)f(х0+(х;у0+(у)= f(х0;у0), где

х=х0+(х и у=у0+(у, причем точка М(х;у) стремиться к точке М0(х0;у0)

произвольным образом, оставаясь в области определения фун-и.

Условия:1)f(х;у) – опред ф-ия; 2) Сущ-ют конечные пределы со всех сторон;

3)Эти пределы равны между собой; 4)Конечные пределы со всех сторон

=f(x0;у0).

Если (х0;у0) точка разрыва и выполняется условие 2, то (х0;у0)–1 род.

Если (х0;у0)–1 род и выполняется условие 3, то разрыв устранимый.

Если (х0;у0) точка разрыва и не выполняется условие 2, то (х0;у0) – 2 рода.

Св-ва непрерывности в точке: 1)Если фун f1(х;у) и f2(х;у) непрерывны в

точке (х0;у0), то сумма (разность) f(х;у)=f1(х;у)(f2(х;у), произведение

f(х;у)=f1(х;у)*f2(х;у), а также отношение этих функций

f(х;у)=f1(х;у)/f2(х;у), есть непрер-я фун в точке х0;у0.

Док-во (суммы): По определению получаем, что

limх(х0(у(у0)f1(х;у)=f1(х0;у0), limх(х0(у(у0)f2(х;у)=f2(х0;у0) на

основании св-ва: limXn=a, limYn=b => lim(Xn(Yn)=a(b (n((), можем написать:

limх(х0(у(у0)f(х;у)=limх(х0(у(у0)[f1(х;у)+f2(х;у)]=

=limх(х0(у(у0)f1(х;у)+limх(х0(у(у0)f2(х;у)=

=f1(х0;у0)+f2(х0;у0)=f(х0;у0). Итак сумма есть непрерывная функция.(

2)Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она

определена. 3) Если фун z=((m) непрерывна в точке m=х0;у0, а фун y=f(z)

непрерывна в соот-й точке z0=((х0;у0), то фун y=f(((х;у)) непрер-а в точке

(х0;у0).

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а

f(x,y) {f(x0,y0)0 при всех достаточно малых приращениях

независимых переменных, то фун f(x;y) достигает min в точке М0(х0;у0);

Необходимое усл экстремум: Если функция z=f(x,y) достигает экстремума при

x=x0, y=y0, то каждая частная производная первого порядка от z или

обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не сущ.

Док-во: Действительно, дадим переменному y определённое значение, а именно

y=y0. Тогда ф-ия f(x,y0) будет функцией одного переменного x. Т.к. при x=x0

она имеет экстремум, то следовательно (?z/?x) при x=x0,y=y0 или равно нулю

или не сущ. Аналогично доказ, что (?z/?у) при x=x0, y=y0 или равно нулю

или не сущ.

Достаточное усл экстемум: Пусть в нек. Области, содержащей т.M(x0,y0),

функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка

включительно, пусть, кроме того т.M(x0,y0) является критической точкой

функции f(x,y) т.е. ?f(x0,y0)/?x=0, ?f(x0,y0)/?y=0.

Тогда при x=x0, y=y0:

1)f(x,y) имеет максимум, если

?2f(x0,y0)/(x2*?2f(x0,y0)/(y2-(?2f(x0,y0)/?x?y)2>0 и ?2f(x0,y0)/(x20 и ?2f(x0,y0)/(x2>0

3)f(x,y) не имеет ни макс. ни мин.

?2f(x0,y0)/(x2*?2 f(x0,y0)/(y2-(?2f(x0,y0)/?x?y)20. По определению область D разбивается на

элементарные кусочки (Di; выбрать в этих кусочках точку принадлежащую (Di и

найти значение функции в этой точке. (Vi=f(xi,yi)*(Si. Сумма

(Vi=n(i=1f(xi,yi)*(Si – это объем фигуры состоящей из элементарных

параллелепипедов. Основания параллелепипедов заполняют область D.

limmax di(0n(i=1f(xi,yi)*(Si=VТ если этот предел сущ-ет, то это V тела

(цилиндройда).?? f(x,y)dxdy=Vцил

2) Площадь поверхности.

Sпов.= ??[(1+((z/(x)2+((z/(y)2dxdy].

Диф-е ур-я (осн понятия).

Общий вид диф ур F(x;y;y’;у”…уn)=0. Наивысший порядок производ-й в ур-и

F(x;y;y’;у”…уn)=0 наз порядковым ур-ем.

Решением ур F(x;y;y’;у”…уn)=0 наз любая фун вида у=((х), которая будучи

подставленная в F(x;y;y’;у”…уn)=0 вместе со своими произ-ми обращает в

тождество. F(x;((х);((х)’;((х)”… ((х)n)=0.

Фун вида у=((х;С1;С2;…Сn) наз общим решением ур F(x;y;y’;у”…уn)=0, если

выполняется: 1) эта фун-я яв-ся решением при любых С1;С2;…Сn; 2) для любых

начальных усл х0, у0, у’0, уn0 можно найти конкретную совокупность С1 0;С2

0;С3 0;…Сn 0 при которых фун у=((х;С1 0;С2 0;С3 0;…Сn 0), что эта фун будет

удвл начальному условиям.

Соот-е вида ((х;С1;С2;С3;…Сn)=0 полученная при решении ур F(x;y;y’;у”…уn)=0

наз общим интегралом ур F(x;y;y’;у”…уn)=0 (т.е. решение ур находиться в

неявной форме).

Дифф. ур. 1-го порядка

Общий вид F(x;y;y’)=0 Решением данного ур. наз. любая фун.=((x), кот.

обращает ур. в тождество.

Опр-е: Фун. y=((x;C) наз-ся общим решением, если она удов.:1)данная фун. яв-

ся реш-м при любых C; 2)при любых x0;y0 можно найти такое C0, что фун. y=

((x,C0) удов. начальным усл-ям.

Рав-во вида Ф(x;y;C)=0, неявно задающее общее реш-е, наз-ся общим

интегралом дифф. ур-я.

Опр: Частным реш-м наз-ся любая фун. y=((x;C0), кот. получается из общего

реш. y=((x;C), если в последнем произ. постоянному С придать опред.

значение С=С0. Соотн. Ф(x;y;C0)=0 наз-ся в этом случае частным интегралом

ур.

Методы интегрирования диф-я уравнений 1 порядка:

1). Ур-е с разделенными переменными f1(x)y’=f2(y) f1(x)dy=f2(y)dx,

dy/f2(y)=dx/f1(x), ?dy/f2(y)=?dx/f1(x) 2).Ур-е с разделяющимися переменными

f(x;y)y’+((x;y)=0, f1(x)f2(y)dy+(1(x)(2(y)dx=0 все разделим на (2(y)*f1(x)

{f2(y)/(2(y)}dy+{(1(x)/f1(x)}dx=0

?{f2(y)/(2(y)}dy+?{(1(x)/f1(x)}dx=C – общий интеграл 3).Линейные диффер.

ур. y’+p(x;y)=Q(x) – общий вид, Если Q(x)(0, то линейное уравнение

y’+p(x;y)=0.

Методы решений: 1) Метод вариации постоянной;

2)Решение этого ур будем искать как y=U(x)V(x) (диффер-ем)

dy/dx=UdV/dx+VdU/dx (подставим) UdV/dx+VdU/dx+PUV=Q

U(dV/dx+PV)+VdU/dx=Q, dV/dx+PV=0, dV/V=-Pdx lnC1+lnV=-?Pdx

V= C1e–?Pdx и подставляем в UdV/dx+VdU/dx+PUV=Q

V(x)= e–?Pdx, где ?Pdx - какая-нибудь первообразная

V(x)dU/dx=Q(x), dU/dx=Q(x)/V(x), U=?Q(x)/V(x)dx+C, y=V(x) ?

Q(x)/V(x)dx+CV(x)

Уравнения приводящиеся к линейным(Бернулли)

y’+P(x)y=Q(x)yn, P(x) и Q(x) – непрерывные фун. от x (или пост.) n(0,1.

Это ур-е наз ур Бернулли, приводится к линейному следующим преобразованием.

Разделим на yn с наибольшим значением n, получим

(y–n)y’+P(y–n+1)=Q, Сделаем далее замену z=(y–n+1), тогда dz/dx=(-n+1)(y-

n)y’. Подставляя эти значения в ур-е

(y–n)y’+P(y–n+1)=Q, будем иметь линейное ур-е

dz/dx=(1-n)Pz=(1-n)Q

Найдя его общий интеграл и подставив вместо z выражение (y–n+1), получим

общий инт. ур.Бернулли

Однородные ур-я

Ур-е вида y’=f(x;y) наз-ся однор.ур-ем, если фун. f(x;y)

–однородная нулевого измерения или порядок однородности равен 0, т.е.

f(tx;ty)=(t0)f(x;y).

Фун. f(x;y) наз-ся однор.ур-ем k-го порядка однородности, если вып. усл.

f(tx;ty)=(tk)f(x;y); f(tx;ty)=(t0)f(x;y), где k=0; f(tx;ty)=f(x;y), где

t=1/x; f[(1/x)*x;(1/y)*x)]=f(1;y/x), обозначим y/x=U(x) след-но y=U(x)x,

y’=U’x+U подставим в исходное ур-е U’x+U=f(1;U), U’x+U=((U) (dU/dx)*x=((U)-

U, dx/x=dU/(((U)-U), ln(x(=[?dU/(((U)-U)] + C ( вместо U подст. y/x и

получим общий инт.

Замеч. Однор.ур. может выгл. так M(x;y)dx+N(x;y)dy=0 если обе фун. M(x;y) и

N(x;y) однородные k-го порядка.

Дифф. ур. 2-го порядка

Общий вид дифф. ур.2-го порядка F(x;y;y’;y’’)=0. Решением урав. наз. любая

фун.y=((x), кот. обращает это ур. в тождество F(x;((x);(’(x);(’’(x))=0

Общим решением наз. ур. вида y=(x;C1;C2), кот. яв-ся 1)реш. при любых знач.

C1,C2,Cn; 2)для любых x0,y0,y0’,y0’’ можно найти С10,С20, при кот. заданная

фун. y=((x1; С10;С20) будет удов. заданному нач. ур-ю, т.е.

((x0;С10;С20)=y0 ,

(’(x0; С10;С20)=y0’

Линейные дифф. ур-я 2-го порядка

Общий вид линейн. диф. ур. 2-го порядка y’’+P(x)y’+q(x)y=f(x). (1)

Если f(x)=0 следовательно y’’+P(x)y’+q(x)y=0 (2)

– линейное однородное урав.

Структура реш. лин. одн.ур.2-го пор.

1)Если 2 реш. ур (2) y1(x) и y2 (x) – линейно-независ, т.е. нельзя одну

вырозить через др, т.е.

y1(x)/y2(x)(const, то общим решением ур (2) y=C1y1+C2y2

2) Если известно одно реш. y1, то др. найдем по форм. y2=

y1?[(e–?P(x)dx)]/(y12)dx. Общее реш. y=C1y1+C2y2

3) y1 находим подбором.

Структура общего реш. неоднородного ур.

1)Общее реш.y(x)=y(-)+y*, где y(-)=C1y1+C2y2 общее реш.(2), y*- нек.

частное реш. самого ур.

2)Метод вариации произ. постоянной

y*= C1(x)y1+C2(x)y2

3)Для нахождения C1(x) и C2(x) созд.

сист. ур-ий. 0 y2

C1’(x)y1+ C2’(x) y2=0 ( C1’(x)= f(x) y2’

C1’(x)y1’+ C2’(x) y2’=f(x) y1 y2

y1’ y2’

( C1(x)=?(--)/(--)dx

y1 0

C2’(x)= y1’ f(x) ( C2(x)=?(--)/(--)dx

y1 y2

y1’ y2’

Лин. дифф. ур-ия со спец. правой частью.

Рассмотрим случай: y’’+py’+qy=f(x), p,q – числа. y=c1y1+c2y2+y*, где y1, y2

– два лин-но незав. реш.

(1) y’’+ py’+qy=0 – лин. однород дифф. ур-ие 2ого порядка.

y=ekx k2+pk+q=0 – характерист. ур-ие ур-ия (1).

Рассмотрим 3 случия:

1. D>0, k1,2=(-p(((p2-4q))/2, k1(k2 y1=ek1x, y2=ek2x.

Т.к. y1/y2(const, то y=c1 ek1x+c2 ek2x.

2. D=0 k1,2=-p/2

y1=e-px/2, y2=y1?(e--?pdx)/y12dx=e-px/2, y=e-px/2(c1+c2x).

3.Когда корни комплексные, т.е. D ( lim

S1n=Sn1.

2) Предельный признак сравнения. Если сущ-ет limUn/Vn=L, но L(0,( при n((,

то ряды ведут себя одинаково.

3) Признак Даламбера. Если ( lim(Un+1/Un)=L(2) при n((, то: 1) ряд

сходится, если L1. Док-во: 1) пусть L1. тогда из равенства lim(Un+1/Un)=L следует, что, начиная с некот.

N, т.е. для n(N, будет иметь место нер-во (Un+1/Un)>1, или Un+1>Un для всех

n(N. Но это озн-ет, что члены ряда возрастают, начиная с номера N+1, и

поэтому общий член ряда не стремится к нулю. Значит, ряд расходится.

4)Признак Коши. Если для ряда с положит членами limn(Un=L, то: 1) ряд

сходится, если L1.

Док-во: 1) пусть L1. Тогда, начиная с некот номера n=N, будем иметь: n(Un>1 или Un>1. но

если все члены рассматр ряда, начиная с UN, больше 1, то ряд расходится,

т.к. его общий член не стремится к нулю.

5)Интегральный признак сходимости. Имеем ряд ((n=1Un, где члены ряда

убывают Un>Un+1>0. Есть фун f(x)>0, х([1;(] непрерывная и убывающая и

такая, что при целых значениях х=n значение фун-и f(n)=Un.

Если не собственный интеграл ((1f(x)dx – сходиться, то ряд сходится. Если

не собственный интеграл ((1f(x)dx – расходиться, то ряд расходится.

Знакочередующиеся ряды.

Под знакочередующимся рядом понимается ряд, в котором члены попеременно то

положительны, то отрицательны.

Т.Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной

величине U1>U2>U3… и предел его общего члена при n(( равен 0

(Lim n(( Un=0), то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена:

U1(S.

Д: Рассмотрим последовательность частичных сумм четного числа членов при

n=2m:

S2m=(U1-U2)+(U3-U4)+…+(U2m-1-U2m). Эта последовательность возрастающая и

ограниченная. На основании признака существования придела

последовательность S2m имеет предел Limm((S2m=S. Переходя к пределу в

неравенстве S2m|Х1|.

Д: 1)По условию ряд (*) сходится при Х=Х0?0, следовательно, выполняется

необходимый признак сходимости Limn((Un=Limn((CnX0n=0. Значит

последовательность |CnX0n| Оганичена, т.е. сущ. Такое число М>0, что для

всех n выполняется неравенство |CnX0n||X1| ряд (*) сходится. Тогда по

доказанному выше он должен сходится и в точке Х1 (т.к. |X|>|X1|), что

противоречит условию.(

Из теоремы Абеля следует, что сущ. Такое число R?0, что при |Х|R – расходится. Число R получило название радиуса

сходимости, а интервал (-R;R)-интервала сходимости степенного ряда.

2) и 3) на любом отрезке [a,b], целиком принадлежащем интервалу сходимости(-

R;R), ф-я F(x) является непрерывной, а следовательно степенной ряд можно

почленно интегрировать и дифференцировать на этом отрезке.

4) Степенные ряды вида а0+а1х+а2х2+…+аnх2+…+аn+1хn+1+… и

а0+а1(х-х0)+а2(х-х0)2+…+аn(х-х0)2+… сходяться равномерно.

5) Степенные ряды сход к фун S(x), которая непрерывна в обл сходимости.

Функциональные ряды

Ряд U1+U2+..+Un+.. называется функциональным, если его члены являются

функциями от Х. Рассмотрим функциональный ряд U1(Х)+U2(Х)+..+Un(Х)+...(1)

Совокупность тех значений Х, при которых функциональный ряд сходится,

называют областью сходимости этого ряда.

Обозначим через Sn(Х) сумму первых n членов ряда (1). Если этот ряд

сходится и сумма его равна S(x), то S(x)=Sn(x)+rn(x), где rn(x) есть сумма

ряда Un+1(x)+Un+2(x) +…, т.е. rn(x)= Un+1(x)+Un+2(x) +… В этом случае

величина rn(x) называется остатком ряда (1). Для всех значений Х в области

сходимости ряда имеет место соотношение Limn>? rn(x)=

Limn>?[S(x)-Sn(x)]=0, т.е. остаток rn(x) сходящегося ряда стремится к нулю

при n>?.

Функциональный ряд U1(Х)+U2(Х)+..+Un(Х)+.. (1) называется

мажорируемым в нек-й области изменения Х, если существует такой сходящийся

числовой ряд а1+а2+а3+…+аn..(2) с положительными членами, что для всех

значений Х из данной области выполняются соотношения

|U1(x)|?a1,…,|Un(x)|?an ,… Иначе, ряд называется мажорируемым, если каждый

его член по абсолютной величине не больше соответствующего члена нек-го

сход. ряда с полож. членами.

Ряд Тейлор.

Для ф-и F(x) имеющей все производные до (n-1) порядка включительно, в

окрестности точки х=а справедлива формула Тейлора:

f(x)=f(a)+f((a)(x-a)+f(((a)[(x-

a)2/2!]+…

…+fn(a)[(x-a)n/n!]+Rn(x), (1) где остаточный член Rn(х)={[(x-

a)n+1]/[(n+1)!]}f(n+1)[a+((x-a)], где 0<(<1. Для того, чтобы ряд сходился к

ф-и, необходимо и достаточно, чтобы при n(( остаток ряда стремился к 0,

т.е. Rn(x)(o. Переходя в формуле (1) к пределу при n((, получим справа

бесконечный ряд, котороый наз рядом Тейлора:

f(x)=f(a)+f((a)(x-a)+…+fn(a)[(x-a)n/n!]+…

Если в ряде Тейлора предположим а=0, то получим ряд Маклорена:

f(x)=f(0)+f((0)x+f(((0)[x2/2!]+…

…+fn(0)[xn/n!]+….

Разложение нек-х ф-й в ряд Маклорена:

ex=1+x+x2/2!+…+xn/n!+… (-(;()

sinX=x-x3/3!+x5/5!+…+(-1)n-1[X2n-1]/(2n-1)!+… (-(;()

cosX=1-x2/2!+x4/4!-…+[(-1)nX2n]/(2n)!+… (-(;()

(1+x)m=1+mx+[m(m-1)x2]/2!+[m(m-1)*

*(m-2)x3]/3!+[m(m-1)(m-n+1)xn]/n!+… (-1;1)

ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-..+[(-1)nxn+1]/(n+1)+.. (-1;1]

1/(1-x)=1+x+x2+…+xn+..

1/(1+X2)=1-x2+x4-x6+…

arctgX=x-x3/3+x5/5-x7/7+…+[(-1)n+1x2n-1]/2n-1+…

-----------------------

G

y

x

P