НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Решение уравнений, систем уравнений, неравенств графически
Решение уравнений, систем уравнений, неравенств графически
Основная часть:
Применение графиков в решении уравнений.
I)Графическое решение квадратного уравнения:
Рассмотрим приведённое квадратное уравнение : x2+px+q=0;
Перепишем его так:x2=-px-q.(1)
Построим графики зависимостей:y=x2 и y=-px-q.
График первой зависимости нам известен, это есть парабола; вторая
зависимость- линейная; её график есть прямая линия. Из уравнения (1) видно,
что в том случае, когда х является его решением, рдинаты точек обоих
графиков равны между собой. Значит, данному значению х соответствует одна и
та же точка как на параболе, так и на прямой, то есть парабола и прямая
пересекаются в точке с абциссой х.
Отсюда следующий графический способ решения квадратного
уравнения:чертим параболу у=х2, чертим(по точкам) прямую у=-рх-q.
Если прямая и парабола пересекаются, то абциссы точек пересечения
являются корнями квадратного уравнения. Этот способ удобен, если не
требуется большой точности.
Примеры:
1.Решить уравнение:4x2-12x+7=0
Представим его в виде x2=3x-7/4.
Построим параболу y=x2 и прямую y=3x-7/4.
Рисунок 1.
Для построения прямой можно взять, например, точки(0;-7/4) и
(2;17/4).Парабола и прямая пересекаются в двух точках с абциссами x1=0.8 и
x2=2.2 (см. рисунок 1).
2.Решить уравнение : x2-x+1=0.
Запишем уравнение в виде: x2=x-1.
Построив параболу у=х2 и прямую у=х-1, увидим, что они не
пересекаются(рисунок 2), значит уравнение не имеет корней.
Рисунок 2.
Проверим это. Вычислим дискриминант:
D=(-1)2-4=-3-2. Таким образом, в
множество решений входит интеграл(-2;-1).На отрезке [-1,1] исходное
неравенство равносильно верному числовому неравенству 24, содержащее параметр а, естественно,
требует, для своего решения гораздо больше усилий, чем неравенство ?1+х +
?1-х>1.
Что значит решить первое из этих неравенств? Это, по существу, означает
решить не одно неравенство, а целый класс, целое множество неравенств,
которые получаются, если придавать параметру а конкретные числовые
значения. Второе же из выписанных неравенств является частным случаем
первого, так как получается из него при значении а=1.
Таким образом, решить неравенство, содержащее параметры, это значит
определить, при каких значениях параметров неравенство имеет решения и для
всех таких значений параметров найти все решения.
Пример1:
Решить неравенство|х-а|+|х+а|0.
Для решения данного неравенства с двумя параметрами a u b воспользуемся
геометрическими соображениями. На рисунке 8 и 9 построены графики функций.
Y=f(x)=|x-a|+|x+a| u y=b.
Очевидно, что при b2|a|, то прямая y=b пересекает график
функции y=f(x) в двух точках (-b/2;b) u (b/2;b)(рисунок 6) и неравенство в
этом случае справедливо при –b/22|a|, то x €(-b/2;b/2).
III) Тригонометрические неравенства:
При решении неравенств с тригонометрическими функциями существенно
используется периодичность этих функций и их монотонность на
соответствующих промежутках. Простейшие тригонометрические неравенства.
Функция sin x имеет положительный период 2?. Поэтому неравенства вида: sin
x>a, sin x>=a,
sin x-1/2.(рисунок 10)
Сначала решим это неравенство на отрезке[-?/2;3?/2]. Рассмотрим его
левую часть – отрезок [-?/2;3?/2].Здесь уравнение sin x=-1/2 имеет одно
решение х=-?/6; а функция sin x монотонно возрастает. Значит, если
–?/2sin(-?/6) = –1/2. Все
эти значения х не являются решениями неравенства.
На оставшемся отрезке [?/2;3?/2] функция sin x монотонно убывает и
уравнение sin x = -1/2 имеет одно решение х=7?/6. Следовательно, если
?/2sin(7?/6)=-1/2, т.е. все эти значения х являются
решениями неравенства. Для x Є[7?/6;3?/2] имеем sin x<= sin(7?/6)=-1/2,
эти значения х решениями не являются . Таким образом, множество всех
решений данного неравенства на отрезке [-?/2;3?/2] есть интеграл (-
?/6;7?/6).
В силу периодичности функции sin x с периодом 2? значения х из любого
интеграла вида: (-?/6+2?n;7?/6 +2?n),nЄZ, также являются решениями
неравенства. Никакие другие значения х решениями этого неравенства не
являются .
Ответ: -?/6+2?n
Рисунок 10.
-----------------------
[pic]?????????†??????????†??????????†??????????†??????????†??????????†??????
????†???
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
|