Мы пришли к противоречию. Значит, точка B1 лежит на прямой A1C1.
Первое утверждение теоремы доказано.
Покажем теперь, что точка B1 лежит между A1 и C1. Допустим, что точка
A1 лежит между точками B1 и C1. Тогда A1B1 + A1C1 = B1C1, и, следовательно,
AB+AC=BC. Но это противоречит неравенству AB+BC=AC. Таким образом, точка A1
не может лежать между точками B1 и C1.
Аналогично доказываем, что точка C1 не может лежать между точками A1
и B1.
Так как из трех точек A1,B1,C1 одна лежит между двумя другими, то
этой точкой может быть только B1. Теорема доказана полностью.
2. При движении прямые переходят в прямые, полупрямые – в полупрямые,
отрезки – в отрезки
3. При движении сохраняются углы между полупрямыми.
Доказательство. Пусть AB и AC – две полупрямые, исходящие из точки A,
не лежащие на оной прямой. При движении эти полупрямые переходят в
некоторые полупрямые A1B1 и A1C1. Так как движение сохраняет расстояние, то
треугольники ABC и A1B1C1 равны по третьему признаку равенства
треугольников. Из равенства треугольников следует равенство углов BAC и
B1A1C1, что и требовалось доказать.
4. Движение переводит плоскость в плоскость.
Докажем это свойство. Пусть ( - произвольная плоскость. Отметим на
ней любые три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. Проведем через них
плоскость ('.
Докажем, что при рассматриваемом движении плоскость ( переходит в
плоскость ('.
Пусть X - произвольная точка плоскости (. проведем через нее какую-
нибудь прямую a в плоскости (, пересекающую треугольник ABXC в двух точках
Y и Z. Прямая а перейдет при движении в некоторую прямую a'. Точки Y и Z
прямой a перейдут в точки Y' и Z', принадлежащие треугольнику A'B'C', а
значит, плоскости ('.
Итак прямая a' лежит в плоскости ('. Точка X при движении переходит
в точку X' прямой a', а значит, и плоскости (', что и требовалось
доказать.
В пространстве, так же как и на плоскости, две фигуры называются
равными, если они совмещаются движением.
III. Виды движения: симметрия относительно точки, симметрия относительно
прямой, симметрия относительно плоскости, поворот, движение, параллельный
перенос.
Симметрия относительно точки
Пусть О - фиксированная точка и X - произвольная точка плоскости.
Отложим на продолжении отрезка OX за точку O отрезок OX', равный OX. Точка
X' называется симметричной точке X относительно точки O. Точка,
симметричная точке O, есть сама точка O. Очевидно, что точка, симметричная
точке X', есть точка X.
Преобразование фигуры F в фигуру F', при котором каждая ее точка X
переходит в точку X', симметричную относительно данной точке O, называется
преобразованием симметрии относительно точки O. При этом фигуры F и F'
называются симметричными относительно точки O.
Если преобразование симметрии относительно точки O переводит фигуру F в
себя, то она называется центрально-симметричной, а точка O называется
центром симметрии.
Например, параллелограмм является центрально-симметричной фигурой.
Его центром симметрии является точка пересечения диагоналей.
Теорема: Преобразование симметрии относительно точки является
движением.
Доказательство. Пусть X и Y - две произвольные точки фигуры F.
Преобразование симметрии относительно точки O переводит их в точки X' и Y'.
Рассмотрим треугольники XOY и X'OY'. Эти треугольники равны по первому
признаку равенства треугольника. У них углы при вершине O равны как
вертикальные, а OX=OX', OY=OY' по определению симметрии относительно точки
O. Из равенства треугольников следует равенство сторон: XY=X'Y'. А значит,
что симметрия относительно точки O есть движение. Теорема доказана.
Симметрия относительно прямой
Пусть g - фиксированная прямая. Возьмем произвольную точку X и
опустим перпендикуляр AX н прямую g. На продолжении перпендикуляра за точку
A отложим отрезок AX', равный отрезку AX. Точка X' называется симметричной
точке X относительно прямой g. Если точка X лежит на прямой g, то
симметричная ей точка есть сама точка X. Очевидно, что точка, симметричная
точке X', есть точка X.
Преобразование фигуры F в фигуру F', при котором каждая ее точка X
переходит в точку X', симметричную относительно данной прямой g, называется
преобразованием симметрии относительно прямой g. При этом фигуры F и F'
называются симметричными относительно прямой g.
Если преобразование симметрии относительно прямой g переводит фигуру
F в себя, то эта фигура называется симметричной относительно прямой g, а
прямая g называется осью симметрии фигуры.
Например, прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей
прямоугольника параллельно его сторонам, является осями симметрии
прямоугольника. Прямые на которых лежат диагонали ромба, является его осями
симметрии.
Теорема: Преобразование симметрии относительно прямой является
движением.
Доказательство. Примем данную прямую за ось у декартовой системы
координат. Пусть произвольная точка A (x;y) фигуры F переходит в точку A'
(x';y') фигуры F'. Из определения симметрии относительно прямой следует,
что у точек A и A' равные ординаты, а абсциссы отличаются только знаком: x'
= -x.
Возьмем две произвольные точки A (x;y) и B (x;y). Они перейдут в
точки A' (-x;y) и B' (-x;y).
Имеем:
AB2=(x2-x1)2+(y2-y1)2
A'B'2=(-x2+ x1) 2+(y2-y1)2
Отсюда видно, что AB=A'B'. А значит, что преобразование симметрии
относительно прямой есть движение. Теорема доказана.
Симметрия относительно плоскости
Пусть a - произвольная фиксированная плоскость. Из точки X фигуры
опускаем перпендикуляр XA на плоскость a и на его продолжении за точку
Aоткладываем отрезок AX', равный XA. Точка X' называется симметричной точке
X относительно плоскости a, а преобразование, которое переводит X в
симметричную ей точку X', называется преобразованием симметрии относительно
плоскости a.
Если точка X лежит в плоскости a, то считается, что точка X переходит
в себя. Если преобразование симметрии относительно плоскости a переводит
фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости a,
а плоскость a называется плоскостью симметрии этой фигуры.
Поворот
Поворот плоскости около данной точки называется такое движение, при
котором каждый луч, исходящий из точки, поворачивается на один и тот же
угол в одном и том же направлении.
Это значит, что если при поворот около точки O точка переходит в точку X',
то лучи OX и OX' образуют один и тот же угол, какова бы ни была точка X.
Этот угол называется углом поворота. Преобразование фигур при повороте
плоскости также называется поворотом.
Параллельный перенос в пространстве
Параллельным переносом в пространстве называется такое
преобразование, при котором произвольная точка (x; y; z) фигуры переходит в
точку (x+a; y+b; z+c), где числа a,b,c одни и те же для всех точек (x; y;
z). Параллельный переносов пространстве задается формулами
x'=x+a, y'=y+b, z'=z+c,
выражающими координаты x', y', z' точки, в которую переходит точка (x; y;
z) при параллельном переносе. Так же, как и на плоскости, доказываются
следующие свойства параллельного переноса:
1. Параллельные перенос есть движение.
2. При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или
совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.
3. При параллельном переносе каждая прямая переходит в параллельную
ей прямую (или в себя).
4. Каковы бы ни были точки A и A', существует единственный
параллельный перенос, при котором точка A переходит в точку A'.
Новым для параллельного переноса в пространстве является следующее
свойство:
5. При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость
переходит либо в себя, либо в параллельную её плоскость.
Действительно, пусть ( - произвольная плоскость, проведем в этой
плоскости две пересекающиеся прямые a и b. При параллельном переносе прямые
a и b переходят либо в себя, либо в параллельные прямые a' и b'. Плоскость
( переходит в некоторую плоскость (', проходящую через прямые a' и b'. Если
плоскость (' не совпадает с (, то по теореме о двух пересекающихся прямых
одной плоскости соответственно параллельными с пересекающимися прямыми
другой плоскости, она параллельна a, что и требовалось доказать.
Список использованной литературы:
1. Учебник Геометрии 7-11 классы. А.В. Погорелов
2. Учебник Геометрии 10-11 классы. А.Д. Александров.
-----------------------
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
