НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Пирамида и призма

Пирамида и призма

Общий исторический обзор

Первые геометрические понятия возникли в доисторические времена.

Разные формы материальных тел наблюдал человек в природе: формы растений и

животных, гор и извилин рек, круга и серпа Луны и т. п. Однако человек не

только пассивно наблюдал природу, но практически осваивал и использовал ее

богатства. В процессе практической деятельности он накапливал

геометрические сведения. Материальные потребности побуждали людей

изготовлять орудия труда, обтесывать камни и строить жилища, лепить

глиняную посуду и натягивать тетиву на лук. Конечно, десятки и сотни тысяч

раз натягивали люди свои луки изготовляли разные предметы с прямыми ребрами

и т. п., пока постепенно дошли до отвлеченного понятия прямой линии.

Примерно то же можно сказать о других основных геометрических понятиях.

Практическая деятельность человека служила основой длительного процесса

выработки отвлеченных понятий, открытия простейших геометрических

зависимостей и соотношений.

Начало геометрии было положено в древности при решении чисто

практических задач. Со временем, когда накопилось большое количество

геометрических фактов, у людей появилось потребность обобщения, уяснения

зависимости одних элементов от других, установления логических связей и

доказательств. Постепенно создавалась геометрическая наука. Примерно в VI -

V вв. до н. э. в Древней Греции в геометрии начался новый этап развития,

что объясняется высоким уровнем, которого достигла общественно-политическая

и культурная жизнь в греческих государствах. Произведения, содержащие

систематическое изложение геометрии, появились в Греции еще в V до н.э., но

они были вытеснены “Началами” Евклида.

Геометрические знания примерно в объеме современного курса средней

школы были изложены еще 2200 лет назад в “Началах” Евклида. Конечно,

изложенная в “Началах” наука геометрия не могла быть создана одним ученым.

Известно, что Евклид в своей работе опирался на труды десятков

предшественников, среди которых были Фалес и Пифагор, Демокрит и Гиппократ,

Архит, Теэтет, Евдокс и др. Ценой больших усилий, исходя из отдельных

геометрических сведений, накопленных тысячелетиями в практической

деятельности людей, эти великие ученые сумели на протяжении 3 - 4 столетий

привести геометрическую науку к высокой ступени совершенства. Историческая

заслуга Евклида состоит в том, что он, создавая свои “Начала”, объединил

результаты своих предшественников, упорядочил и привел в одну систему

основные геометрические знания того времени. На протяжении двух тысячелетий

геометрия изучалась в том объеме, порядке и стиле, как она была изложена в

“Началах” Евклида. Многие учебники элементарной геометрии во всем мире

представляли (а многие и поныне представляют) собой лишь переработку книги

Евклида. “Начала” на протяжении веков были настольной книгой величайших

ученых.

В XVII в. Декарт благодаря методу координат сделал возможным изучение

свойств геометрических фигур с помощью алгебры. С этого времени начала

развиваться аналитическая геометрия. В XVII - XVIII вв. зарождается и

разрабатывается дифференциальная геометрия, изучающая свойства фигур с

помощью методов математического анализа. В XVIII- XIX вв. развитие военного

дела и архитектуры привело к разработке методов точного изображения

пространственных фигур на плоском чертеже, в связи с чем появляются

начертательная геометрия, научные основы которой заложил французский

математик Г. Монж, и проективная геометрия, основы которой были созданы в

трудах французских математиков Д. Дезарга и Б. Паскаля (XVII в.). В ее

создании важнейшую роль сыграл другой французский математик - Ж. В. Понселе

(XIX в.).

Коренной перелом в геометрии впервые произвел в первой половине ХIХ в.

великий русский математик Николай Иванович Лобачевский, который создал

новую, неевклидову геометрию, называемую ныне геометрией Лобачевского.

Открытие Лобачевского было началом нового периода в развитии

геометрии. За ним последовали новые открытия немецкого математика Б. Римана

и др.

В настоящее время геометрия тесно переплетается со многими другими

разделами математики. Одним из источников развития и образования новых

понятий в геометрии, как и в других областях математики, являются

современные задачи естествознания, физики и техники.

Первоначальное понятие о многогранниках.

Многогранники и их элементы.

Проблемы нам создают не те вещи,

которых мы не знаем, а те, о которых

мы

ошибочно полагаем, что знаем.

В. Роджерс

|Определение. Многогранником называется тело,| |

|поверхность которого является объединением | |

|конечного числа многоугольников. | |

| | |

| | |

| | |

| | |

| | |

| | |

|В соответствии с общим определением | |

|выпуклого множества, многогранник является | |

|выпуклым[1], если вместе с любыми двумя | |

|своими точками он содержит соединяющий их | |

|отрезок. На рисунке показаны выпуклый и, | |

|соответственно, невыпуклый многогранники. | |

| | |

| | |

|Многоугольник, принадлежащий поверхности | |

|многогранника, называется его гранью, если | |

|он не содержится ни в каком другом | |

|многоугольнике, также принадлежащем | |

|поверхности многогранника. | |

|Стороны граней называются рёбрами | |

|многогранника, а вершины – вершинами | |

|многогранника. | |

|Отрезки, соединяющие вершины многогранника, | |

|не принадлежащие одной грани, называются | |

|диагоналями этого многогранника. | |

|Определение. Многогранник называется | |

|правильным, если все его грани – равные | |

|правильные многоугольники и из каждой его | |

|вершины выходит одинаковое число рёбер. | |

| |Грани|Вершины |Рёбра | |

|Тетраэдр |4 |4 |6 | |

|Куб |6 |8 |12 | |

|Октаэдр |8 |6 |12 | |

|Додекаэдр |12 |20 |30 | |

|Икосаэдр |20 |12 |30 | |

|Призма n-угольная |2n |3n |n+2 | |

|Пирамида n-угольная|n+1 |2n |n+1 | |

|Теорема Эйлера. |Для числа граней Г, числа |

| |вершин В и числа рёбер Р |

| |любого выпуклого многогранника|

| |справедливо соотношение: |

| |Г+В – Р=2 |

|Принцип Кавальери: |Если два тела могут быть |

| |расположены так, что любая |

| |плоскость, параллельная |

| |какой-нибудь данной плоскости |

| |и пересекающая оба тела, даёт |

| |в сечении с ними равновеликие |

| |фигуры, то объёмы таких тел |

| |равны. |

Призма.

|Определение. Призма – многогранник, | |

|составленный из двух равных многоугольников | |

|A1A2…An и B1B2…Bn, расположенных в | |

|параллельных плоскостях, и n | |

|параллелограммов. | |

|Два равных многоугольника, лежащие в | |

|параллельных плоскостях, называются | |

|основаниями призмы (A1A2…An и B1B2…Bn). | |

|Остальные грани призмы, являющиеся | |

|параллелограммами, называются её боковыми | |

|гранями (AnA1B1Bn) | |

|Рёбра, не лежащие в основании призмы, | |

|называются боковыми рёбрами (A1B1; A2B2 … | |

|AnBn) | |

|Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь | |

|точки одного основания к плоскости другого | |

|основания, называется высотой призмы (h). | |

|Диагональная плоскость – плоскость, | |

|проходящая через диагональ основания и | |

|боковое ребро призмы. | |

|Диагональное сечение – фигура, полученная | |

|при пересечении диагональной плоскости с | |

|поверхностью призмы. | |

|Перпендикулярное сечение – сечение призмы | |

|плоскостью, перпендикулярной её боковым | |

|рёбрам. | |

|В призму можно вписать сферу тогда и только тогда, если в перпендикулярное |

|сечение призмы можно вписать окружность, диаметр которой равен высоте |

|призмы. |

|Если боковые рёбра призмы перпендикулярны к | |

|основаниям, то есть если основания служат | |

|нормальными сечениями боковой поверхности, | |

|то призма называется прямой, в противном | |

|случае – наклонной. Высота прямой призмы | |

|равна её боковому ребру. Плоские углы | |

|основания являются плоскими углами | |

|двугранных углов между боковыми гранями. | |

| | |

|Прямая призма называется правильной, если её| |

|основания – правильные многоугольники. У | |

|такой призмы все боковые грани – равные | |

|многоугольники. | |

|В правильную призму можно вписать сферу | |

|тогда и только тогда, когда её высота равна | |

|диметру окружности, вписанной в основание. | |

| | |

| | |

| | |

| | |

|Площадь боковой поверхности призмы – это |Sбок=Рп*/g/, где Рп – периметр|

|сумма площадей всех её боковых граней. |перпендикулярного сечения, /g/|

| |- длина бокового ребра |

|Площадь полной поверхности призмы – сумма |Sполн=Sбок+2Sосн |

|площадей всех её граней | |

|Объём призмы. Объёмом геометрического тела |V=Sосн*h |

|называется величина части пространства, | |

|занимаемого этим телом. | |

|Доп. справка: в геометрии принято: | |

|За единицу объёма принимают объём куба с | |

|ребром единичной длины. | |

|Равные тела имеют равные объёмы | |

|Объём объединения нескольких | |

|неперекрывающихся (т.е. не имеющих общих | |

|внутренних точек) тел равен сумме их объёмов| |

| | |

|Если одно тело содержит другое, то объём | |

|первого тела не меньше объёма второго | |

|Теорема. Площадь боковой поверхности прямой |Sбок=Pосн*h |

|призмы равна произведению периметра | |

|основания на высоту призмы. | |

|Частным случаем призмы является | |

|параллелепипед – призма, основанием которой | |

|служат параллелограммы. | |

| | |

| | |

| | |

| | |

| | |

| | |

|Основные свойства параллелепипеда: |Противоположные грани |

| |параллелепипеда попарно равны |

| |и параллельны. |

| |Все четыре диагонали |

| |параллелепипеда пересекаются в|

| |одной точке и делятся ею |

| |пополам. |

| |сумма квадратов всех |

| |диагоналей параллелепипеда |

| |равна сумме квадратов всех его|

| |рёбер. |

| |квадрат диагонали |

| |прямоугольного параллелепипеда|

| |равен сумме квадратов трёх его|

| |измерений. |

|Если все грани параллелепипеда являются | |

|прямоугольниками, то параллелепипед | |

|называется прямоугольным. В нём все | |

|диагонали равны между собой. | |

|Если боковые рёбра параллелепипеда | |

|перпендикулярны основанию, то параллелепипед| |

|является прямым. | |

|Куб также является частным случаем призмы. | |

|Куб есть прямоугольный параллелепипед с | |

|равными рёбрами. | |

| | |

| | |

| | |

| | |

| | |

| | |

| | |

| | |

| | |

|Объём параллелепипеда |V=S*h |

|Объём прямоугольного параллелепипеда |V=abc |

|Объём куба |V =a3 |

|Диагональ прямоугольного параллелепипеда |d2=a2+b2+c2, где d – |

| |диагональ, a,b,c – рёбра |

Пирамида.

Слово «пирамида» в геометрию ввели

греки,

которые, как полагают, заимствовали

его

у египтян, создавших самые

знаменитые

пирамиды в мире. Другая теория

выводит

этот термин из греческого слова

«пирос»

(рожь) – считают, что греки выпекали

хлебцы,

имевшие форму пирамиды.

|Определение. Пирамида – это многогранник, | |

|одна из граней которого – произвольный n – | |

|угольник A1A2…An, а остальные грани – | |

|треугольники с общей вершиной. | |

|Этот n – угольник A1A2…An называется | |

|основанием пирамиды. | |

|Остальные (треугольные) грани называются | |

|боковыми гранями (A2PA3, …, AnPA1) | |

|Общая вершина всех боковых граней называется| |

|вершиной пирамиды (P). | |

|Рёбра пирамиды, не принадлежащие основанию, | |

|называются её боковыми рёбрами (PA1, PA2, …,| |

|PAn) | |

|Объединение боковых граней пирамиды | |

|называется её боковой поверхностью. | |

|Перпендикуляр, проведённый из вершины | |

|пирамиды к плоскости основания, называется | |

|высотой пирамиды (РН). | |

|Пирамида называется правильной, если её | |

|основание – правильный многоугольник, а | |

|отрезок, соединяющий вершину пирамиды с | |

|центром основания, является её высотой. | |

| | |

| | |

|Высота боковой грани правильной пирамиды, | |

|проведённая из её вершины, называется | |

|апофемой этой пирамиды (РЕ). Все апофемы | |

|равны друг другу. | |

| | |

| | |

|Если в основании пирамиды лежит n-угольник, | |

|то пирамида называется n-угольной. | |

|Треугольная пирамида называется тетраэдром. | |

|Тетраэдр называется правильным, если все его| |

|рёбра равны (т.о. все грани правильного | |

|тетраэдра – равные правильные треугольники).| |

| | |

| | |

| | |

|Некоторые свойства правильной пирамиды: |

|Все боковые рёбра равны между собой |

|Все боковые грани – равные равнобедренные треугольники |

|Все двугранные углы при основании равны |

|Все плоские углы при вершине равны |

|Все плоские при основании равны |

|Апофемы боковых граней одинаковы по длине |

|В любую правильную пирамиду можно вписать сферу |

|Площадью полной поверхности пирамиды |Sполн=Sбок+Sосн |

|называется сумма площадей всех её граней. | |

|Площадь боковой поверхности пирамиды – сумма| |

|площадей её боковых граней. | |

|Площадь боковой грани |Sбок.гр.=1/2*m*/g/, где m – |

| |апофема, /g/ - основание грани|

|Теорема. Площадь боковой поверхности |Sбок=1/2 * (Pосн* m), где m – |

|правильной пирамиды равна половине |апофема, Р – периметр |

|произведения периметра основания на апофему.|многоугольника основания. |

|Объём пирамиды. |V=(1/3)*Sосн*h |

Усечённая пирамида.

|Определение. Усечённая пирамида – | |

|многогранник, гранями которого являются | |

|n-угольники A1A2…An и B1B2…Bn (нижнее и | |

|верхнее основания), расположенные в | |

|параллельных плоскостях, и n | |

|четырёхугольников A1A2B2B1, A2A3B3B2, …, | |

|AnA1B1Bn. | |

|Усечённая пирамида является частным случаем | |

|пирамиды. | |

|Основания усечённой пирамиды – основание | |

|исходной пирамиды и многоугольник, | |

|полученный при пересечении её плоскостью | |

|(A1A2…An и B1B2…Bn). | |

|Отрезки A1B1, A2B2, …, AnBn называются | |

|боковыми рёбрами усечённой пирамиды. | |

|Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь | |

|точки одного основания к плоскости другого | |

|основания, называется высотой усечённой | |

|пирамиды (СН). | |

|Боковые грани усечённой пирамиды – трапеции.| |

|Усечённую пирамиду с основаниями A1A2…An и | |

|B1B2…Bn обозначают так: A1A2…AnB1B2…Bn. | |

|Усечённая пирамида называется правильной, | |

|если она получена сечением правильной | |

|пирамиды плоскостью, параллельной основанию.| |

|Основания правильной усечённой пирамиды – | |

|правильные многоугольники, а боковые грани –| |

|равнобедренные трапеции. | |

| | |

| | |

|Высоты этих трапеций называются апофемами | |

|(КК1) | |

|Свойства усечённой пирамиды: |Боковые рёбра и высота |

| |пирамиды разделятся секущей |

| |плоскостью на пропорциональные|

| |отрезки |

| |В сечении получится |

| |многоугольник, подобный |

| |многоугольнику, ежащеему в |

| |основании |

| |Площади сечения и основания |

| |будут относится между собой, |

| |как квадраты их расстояний от |

| |вершины пирамиды |

|Теорема. Если две пирамиды с равными высотами пересечь плоскостями, |

|параллельными основаниям, на одинаковом расстоянии от вершины, то площади |

|сечений будут пропорциональны площади оснований. |

|Площадь поверхности усечённой пирамиды |S=(1/2)*m*(P+P1), где m – |

| |апофема |

|Теорема. Площадь боковой поверхности |Sбок=1/2*(Рв+Рн)* m, где m – |

|правильной усечённой пирамиды равна |апофема, Рв, Рн – периметр |

|произведению полусуммы периметров оснований |верхнего и нижнего оснований |

|на апофему. | |

|Объём усечённой пирамиды: |V=(1/3)*h*(S1+?S1S2+S2), где |

| |S1, S2 – площади оснований. |

|Площадь боковой грани |Sбок.гр.=1/2*m*(g+g1), где m –|

| |апофема, g, g1 – основания |

| |боковой грани |

Тетраэдр.

|Определение. Тетраэдр – поверхность, | |

|составленная из четырёх | |

|треугольников. Любая грань может быть| |

|принята за основание пирамиды. | |

|Тетраэдр является частным случаем | |

|пирамиды. | |

|Тетраэдр состоящий из треугольников | |

|ABC, DAB, DBC, DCA обозначается так: | |

|DABC | |

|Треугольники, из которых состоит | |

|тетраэдр, называются гранями. | |

|Стороны треугольников, из которых | |

|состоит тетраэдр, называются рёбрами.| |

|Вершины треугольников, из которых | |

|состоит тетраэдр, называются | |

|вершинами тетраэдра. | |

|Два ребра тетраэдра, не имеющие общих| |

|вершин, называются противоположными. | |

|Иногда выделяют одну грань тетраэдра | |

|и называют её основанием, а три | |

|другие – боковыми гранями. | |

|Медианы тетраэдра – отрезки, | |

|соединяющие его вершины с центроидами| |

|противоположных граней. | |

|Тетраэдр, все грани которого равны, | |

|называется равногранным. | |

|Свойства равногранного тетраэдра: |описанный параллелепипед |

| |равногранного тетраэдра – |

| |прямоугольный |

| |развёртка тетраэдра, полученная при |

| |разрезании его по трём сходящимся в |

| |одной вершине рёбрам, - треугольник |

| |у него имеются три оси симметрии |

| |все трёхгранные углы равны |

| |все медианы (тетраэдра) равны |

| |все высоты (тетраэдра) равны |

| |центры вписанной и описанной сфер и |

| |центроид совпадают |

| |радиусы описанных окружностей граней |

| |равны |

| |периметры граней равны |

| |площади граней равны |

|Тетраэдр, в вершине которого сходятся|Для него выполняется своего рода |

|три взаимно перпендикулярных ребра, |«теорема Пифагора»: |

|называется прямоугольным |S2=S21+S22+S23 |

|Тетраэдр, составленный из четырёх | |

|равносторонних треугольников, | |

|называется правильным. | |

|Объём правильного тетраэдра. |V=(a3*?2)/12 |

|Радиус описанной сферы в правильном |R=(a*?6)/4 |

|тетраэдре | |

|Высота правильного тетраэдра |H=(a*?6)/3 |

|Площадь поверхности правильного |S=a2*?3 |

|тетраэдра | |

|Радиус вписанной окружности |r = (a*?6)/12 |

|правильного тетраэдра | |

Список используемой литературы

1. Стереометрия 10, А. Калинин, Д. Терешин, М.,1996

2. Геометрия 10 – 11, Л. Атанасян, М., 1994

3. Школьная шпаргалка, О. Бекетова, С. – Петербург, 1995

4. Математика в кармане, В. Герцев, М., 1996

-----------------------

[1] В дальнейшем под многогранником будет пониматься выпуклый.