НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Основные определения и теоремы к зачету по функциональному анализу

Основные определения и теоремы к зачету по функциональному анализу

Определение: Элемент наилучшего приближения – L – линейное многообразие,

плотное в E. (( (x(E (u: |x-u|1-(

Определение: Полное нормированное пространство- любая фундаментальная

последовательность сходиться.

Теорема: О пополнении нормированного пространства. Любое нормированное

пространство можно считать линейным многообразием, плотным в некотором

полном нормированном пространстве.

Определение: Гильбертово пространство – нормированное пространство, полное

в норме, порожденной скалярным произведением.

Теорема: Для любого элемента гильбертова пространства существует

единственный элемент наилучшего приближения в конечномерном подпространстве

гильбертова пространства.

Определение: L плотное в E, если (x(E (u(L: |x-u|0 (x(X |Ax|?m|x|

Теорема: Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом

пространстве. Пусть f:X(Y – линейный ограниченный функционал ( (! y(H (x(H

f(x)=(x,y)

Определение: M(X называется бикомпактным, если из любой ограниченной

последовательности можно выделить сходящуюся к элементам этого же множества

последовательность.

Определение: Множество называется компактным, если любая ограниченная

последовательность элементов содержит фундаментальную

подпоследовательность.

Теорема: Хаусдорфа. M(X компактно ( ((>0 ( конечная (-сеть

Теорема: Арцела. M(C[a,b] компактно ( все элементы множества равномерно

ограничены и равностепенно непрерывны.

Определение: Компактный (вполне непрерывный) оператор – замкнутый шар

пространства X переводит в замкнутый шар пространства Y.

Определение: ((X,Y) – подпространство компактных операторов

Теорема: Шаудера. A(((X,Y) ( A*(((X*,Y*)

Линейные нормированные пространства

Пространства векторов

[pic] [pic] сферическая норма

[pic] [pic] кубическая норма

[pic] [pic] ромбическая норма

[pic] [pic] p>1

Пространства последовательностей [pic]

[pic] [pic] [pic] p>1

[pic] или [pic] пространство ограниченных последовательностей

[pic]

[pic] пространство последовательностей, сходящихся к нулю

[pic]

[pic] пространство сходящихся последовательностей

[pic]

Пространства функций

[pic] пространство непрерывных на [pic] функций

[pic]

[pic] пространство k раз непрерывно дифференцируемых на [pic] функций

[pic]

Јp[a,b] пространство функций, интегрируемых в степени p (не

Гильбертово)

[pic] - пополнение Јp[a,b] (Гильбертово)

[pic] [pic]

Неравенство Гёльдера [pic][pic] p,q>0

Неравенство Минковского [pic]