НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Однополостный гиперболоид

Однополостный гиперболоид

Министерство высшего образования Российской Федерации

Московский государственный строительный университет

РЕФЕРАТ

На тему:

“Однополостный гиперболоид”

Факультет: ПГС

Группа: №15

Студент: Муравицкий А.С.

Преподаватель: Ситникова

Е.Г.

Москва

2003

Поверхности второго порядка – это поверхности, которые в прямоугольной

системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени.

К ним относится однополосный гиперболоид.

Однополосный гиперболоид.

Однополосным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой

прямоугольной системе координат определяется уравнением

[pic] (1) [pic]

Из уравнения (1) вытекает, что координатные плоскости являются плоскостями

симметрии, а начало координат — центром симметрии однополостного

гиперболоида.

Уравнение (1) называется каноническим уравнением однополосного

гиперболоида.

Если однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением (1) то

оси Ох, Оу и Oz называются его главными осями.

Установим вид поверхности (1). Для этого рассмотрим сечение ее

координатными плоскостями Oxy (y=0) и Oyx (x=0). Получаем соответственно

уравнения

[pic] и [pic]

из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.

[pic][pic] Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями

z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в

сечении, определяется уравнениями

[pic] или [pic]

из которых следует, что плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с

полуосями [pic] и [pic],

достигающими своих наименьших значений при h=0, т.е. в сечении данного

гиперболоида координатной осью Oxy получается самый маленький эллипс с

полуосями a*=a и b*=b. При бесконечном возрастании [pic] величины a* и b*

возрастают бесконечно.

[pic]

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополосный

гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере

удаления (по обе стороны) от плоскости Oxy.

Величины a, b, c называются полуосями однополосного гиперболоида.

Исследование поверхности методом параллельных сечений.

Суть метода заключается в выяснении формы линий пересечения поверхности с

плоскостями, параллельными координатным плоскостям.

Рассмотрим линии пересечения с плоскостями, параллельными плоскости OXY.

Все уравнения линий пересечений будут получаться из уравнения плоскости, в

котором z будет заменена на некоторое число, равное расстоянию от

пересекающей плоскости до плоскости OXY. Для более наглядного

представления, я изобразил все полученные кривые в виде проекций на

плоскость OXY. Изображения кривых представлены выше.

Величины a, b, c называются полуосями однополосного гиперболоида. Если

a=b,то гиперболоид может быть получен вращением гиперболы с полуосями а и с

вокруг мнимой оси 2с.

Одним из примеров такой поверхности является конструкция радиобашни

построенной по принципу сетчатых конструкций на Шаболовке (г. Москва),

Владимиром Григорьевичем Шуховым в 1919 - 1922 гг. В прошедшем году

исполнилось 80 лет Шаболовской радиобашне — символу советского телевидения

40-60-х годов.

Список использованной литературы:

1.Шипачёв В.С.: «Высшая математика»

2.В.А. Ильин, Э.Г. Позняк: «Аналитическая геометрия»

3.И.Н.Бронштейн, К.А.Семендяев «Справочник по математике для инженеров и

учащихся ВТУЗОВ»