НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Министерство образования Российской Федерации

Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова

РЕФЕРАТ

на тему:

“МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ”

Выполнил: студент гр. МХТ-02

Казаков Василий Васильевич

Проверила:

Абрамова Ирина Михайловна

Магнитогорск 2003

Содержание

1) Гармонические колебания

2) Затухающие колебания

3) Вынужденные колебания без учета сопротивления среды

4) Вынужденные колебания с учетом сопротивления среды

Колебаниями называются процессы, которые характеризуются определенной

повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в

природе и технике, например качания маятника часов, переменный

электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника изменяется

координата центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и

сила тока. Физическая природа колебаний может быть разной, однако различные

колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и

одинаковыми уравнениями. Рассмотрим механические колебания.

Гармонические колебания.

Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых

изменяющаяся величина изменяется по закону синуса (косинуса).

Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в

естественном состоянии равна [pic]. Груз слегка оттянут книзу и затем

отпущен. Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины и

сопротивлением воздуха.

Решение

Направим ось Ох вниз по вертикальной прямой, проходящей через точку

подвеса груза. Начало координат О выберем в положении равновесии груз, то

есть в точке, в которой вес груза уравновешивается силой натяжения пружины.

Пусть ( означает удлинение пружины в данный момент, а (ст—статическое

удлинение, т.е. расстояние от конца нерастянутой пружины до положения

равновесия. Тогда (=(ст+х, или (-(ст=х.

Дифференциальное уравнение получим из второго закона Ньютона: F=ma,

где m=P/g—масса груза а—ускорение движения и F—равнодей-ствующая

приложенных к грузу сил. В данном случае равнодействующая слагается из силы

натяжения пружины и силы тяжести.

По закону Гука сила натяжения пружины пропорциональна её удлинению:

Fупр=-с(, где с – постоянный коэффициент пропорциональности называемый

жесткостью пружины.

[pic]

Так как в положении равновесия сила равновесия сила натяжения пружины

уравновешивается весом тела, то P= с(ст. Подставим в дифференциальное

уравнение выражение Р и заменим (-(ст через х, получится уравнение в виде:

[pic]

или, обозначив с/m через k2,

[pic] (1)

Полученное уравнение определяет так называемые свободные колебания

груза. Оно называется уравнением гармонического осциллятора. Это линейное

дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Его характеристическое уравнение:

[pic]

имеет мнимые корни [pic], соответственно этому общее решение

[pic]

Для выяснения физического смысла решения удобнее привести его к другой

форме, введя новые произвольные постоянные. Умножив и разделив на [pic],

получим:

[pic]

Если положить

[pic] [pic] [pic]

то

[pic] (2)

График гармонических колебаний имеет вид:

[pic]

Таким образом, груз совершает гармонические колебания около положения

равновесия.

Величину А называют амплитудой колебания, а аргумент [pic] — фазой

колебания. Значение фазы при t=o т.e. величина [pic], называется

начальной фазой колебания. Величина [pic] есть частота колебания. Период

колебания [pic] и частота k зависят только от жесткости пружины и от массы

системы. Так как с = Р/(ст = mg/(ст, то для периода можно получить также

формулу:

[pic]

Скорость движения груза получается дифференцированием решения по t:

[pic]

Для определения амплитуды и начальной фазы необходимо задать начальные

условия. Пусть, например, в начальный момент t = 0 положение груза x=x0 и

скорость (=(0. Тогда [pic] [pic], откуда

[pic], [pic]

Из формул для амплитуды и начальной фазы видно, что в отличие от

частоты и периода собственных колебаний они зависят от начального состояния

системы. При отсутствии начальной скорости ((0=0) амплитуда А=х0, а

начальная фаза (=(/2 и, таким образом,

[pic] или [pic]

Затухающие колебания.

Затухающими колебаниями называются колебания, амплитуды которых из-за

потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшают-

ся. Найдем закон движения груза в условиях предыдущей задачи, но с учетом

сопротивления воздуха, которое пропорционально скорости движения.

Решение

К силам, действующим на груз, прибавляется здесь сила сопротивления

воздуха [pic] (знак минус показывает, что сила R направлена противоположно

скорости (). Тогда дифференциальное уравнение движения в проекции на ось Ox

имеет вид

[pic]

или если положить [pic], [pic], то

[pic] (3)

Это уравнение также является линейным однородным уравнением второго

порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение:

[pic]

имеет корни

[pic] (4)

Характер движения целиком определяется этими корнями. Возможны три

различных случая. Рассмотрим сначала случай, когда [pic]. Это неравенство

имеет место, когда сопротивление среды невелико. Если положить [pic], то

корни (4) имеют вид [pic]. Тогда общее решение можно записать в виде

[pic]

или, преобразовав, умножая и деля на [pic], получим:

[pic]

положим, что

[pic] [pic] [pic],

тогда

[pic] (5)

График зависимости отклонения от положения равновесия от времени

имеет вид:

[pic]

Если заданы начальные условия: [pic] при t = 0, то можно определить А

и (. Для этого находим

[pic]

и подставляем t = 0 в выражения для [pic]и [pic] получим систему

уравнений

[pic]

Разделелив обе части второго уравнения на соответствующие части

первого получим

[pic]

откуда

[pic] или [pic] а [pic]

Так как

[pic]

то

[pic]

Решение (5) показывает, что имеют место затухающие колебания. Действии-

тельно, амплитуда колебания [pic] зависит от времени и является монотонно

убывающей функцией, причем [pic] при [pic].

Период затухающих колебаний определяется по формуле

[pic]

Моменты времени, в которые груз получает максимальное отклонение от

начала координат (положения равновесия), образуют арифметическую прогрессию

с разностью, равной полупериоду Т/2. Амплитуды затухающих колебаний

образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем, равным [pic]

или [pic]. Эта величина называется декрементом затухания и обычно

обозначается буквой D. Натуральный логарифм декремента lnD = - пТ/2

называется логарифмическим декрементом затухания.

Частота колебаний [pic]в этом случае меньше, нежели в предыдущем

([pic]), но, как и там, не зависит от начального положения груза.

Если сопротивление среды велико и [pic], то, положив [pic], получим

корни (4) в виде [pic] Так как [pic], то оба корня отрицательны. Общее

решение уравнения в этом случае имеет вид

[pic] (6)

Отсюда видно, что движение апериодическое и не имеет колебательного

характера. Аналогичный характер будет иметь движение и в случае [pic],

когда общее решение имеет вид

[pic] (7)

Легко заметить, что в обоих последних случаях при [pic] имеем

[pic].

Если заданы начальные условия [pic] и [pic], то в случае, когда [pic],

имеем [pic], а [pic]. Решая эту систему относительно [pic] и [pic], получим

[pic], [pic]

и, следовательно

[pic]

[pic]

В случае же, когда [pic], получаем [pic], [pic] и следовательно,

[pic]

Вынужденные колебания без учета сопротивления среды.

Вынужденными колебаниями называют колебания, вызванные внешней

периодической возмущающей силой.

Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в

ненагруженном состоянии равна [pic]. На груз действует периодическая

возмущающая сила [pic] где Q и р — постоянные. Найдем закон движения груза,

пренебрегая массой пружины и сопротивлением среды.

Решение

Как и для гармонических колебаний, получаем уравнение

[pic]

Полагая, как и прежде, [pic] и, кроме того, [pic] перепишем уравнение в

виде

[pic] (8)

Это—неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными

коэффициентами, причем однородным уравнением, соответствующим уравнению

(8), является (1). Поэтому [pic]; остается найти х. Если предположить, что

[pic], то частное решение х, нужно искать в виде [pic], где М и N —

коэффициенты, подлежащие определению. Итак,

[pic][pic]

Производя вычисления, получаем

[pic] [pic]

откуда М=0 и [pic] Полученное таким образом частное решение

[pic] (9)

определяет так называемые вынужденные колебания, созданные возмущаю-

щей силой [pic]. Вынужденные колебания, имеют тот же период, что и

возмущающая сила, совпадают с ней по фазе (т. е. имеют одинаковую начальную

фазу) при k>p, либо отличаются на (, если k

Закон движения представляется общим решением

[pic]. (10)

Оно слагается из собственно вынужденных колебаний (9), которые

определяются внешней возмущающей силой, и собственных колебаний (2),

обусловленных исключительно внутренними причинами: жесткостью пружины и

массой груза.

Если заданы начальные условия: [pic] и [pic], то можно определить

произвольные постоянные А и (. Для этого продифференцируем функцию (10):

[pic]

и подставим в выражения х и [pic] значение аргумента t = 0;

получим систему уравнений относительно A и (:

[pic]

Преобразуем её так:

[pic]

возведем в квадрат обе части каждого из этих уравнений и сложим. Тогда

[pic]

Для нахождения ( разделим обе части первого уравнения на соответствую-

щие части второго; получим

[pic]

откуда

[pic]

при этом [pic], [pic]

Итак, искомым частным решением, удовлетворяющим заданным начальным

условиям, является функция

[pic]

или

[pic]

Частное решение (9), характеризующее собственно вынужденные колебания,

было получено в предположении, что [pic], т. е. что частота внешней силы не

совпадает с частотой собственных колебаний. Если же [pic], то дело будет

обстоять совсем иначе. Действительно, уравнение (8) можно переписать теперь

в виде

[pic] (11)

Частное решение следует искать в форме

[pic],

где М и N — коэффициенты, подлежащие определению. Итак,

[pic][pic]

откуда получаем [pic], [pic], и следовательно, частное решение имеет

вид

[pic]

Общее решение в этом случае

[pic] (12)

Найдем [pic] и подставим в выражения х и [pic] значение t=0;

получим

[pic]

[pic]

[pic] или [pic]

Из последних двух равенств находим

[pic], [pic]

откуда

[pic] [pic] [pic]

Перепишем общее решение так:

[pic]

тогда искомое частное решение, удовлетворяющее заданным начальным

условиям, запишется в виде.

[pic]

Выражение (12) показывает, что амплитуда вынужденных колебаний [pic] в

этом случае может стать неограниченно большой даже тогда, когда q невелико.

Иначе говоря, возможно получение сколь угодно больших амплитуд при малых

возмущающих силах. Это явление называется резонансом. Таким образом,

резонанс наступает тогда, когда частота возмущающей силы совпадает с

частотой собственных колебаний.

Впрочем, в действительности точное совпадение этих частот не является

необходимым. Выражение (9) для вынужденного колебания показывает, что при

близости частот амплитуда [pic] может быть очень большой, хотя и

ограниченной при фиксированных частотах k и р. Возможностью создания

колебаний с значительной амплитудой часто пользуются в различных

усилителях, например в радиотехнике. С другой стороны, в большом числе

случаев появление больших амплитуд является вредным, ибо может приводить к

разрушению конструкций (скажем, мостов или перекрытий).

Вынужденные колебания с учетом сопротивления среды.

Найдем закон движения груза в условиях предыдущей задачи с учетом

сопротивления среды, пропорционального скорости движения.

Решение

Как и выше, имеем

[pic]

или положив[pic], [pic]и [pic]

[pic] (13)

Однородным уравнением, соответствующим (13), является уравнение (3) с

корнями характеристического уравнения (4). Предположим, что сопротивление

среды невелико, т. е. [pic]. При этом общее решение однородного уравнения

имеет вид (5):

[pic]

где [pic]. Это решение определяет свободные колебания, которые будут

затухающими. Для отыскания вынужденных колебаний ищем частное решение в

виде

[pic]

Имеем:

[pic] [pic]

Сравнивая коэффициенты, получаем систему

[pic]

Так как

[pic] [pic]

[pic][pic] [pic] [pic] [pic][pic][pic]

то

[pic] и [pic]

и мы находим частное решение

[pic]

Преобразуем выражение [pic] следующим образом:

[pic].

Обозначив

[pic]

[pic] [pic] (14)

перепишем [pic] виде

[pic] (15)

Выражение

[pic] (16)

носит название сдвига фазы. Общее решение, как и в предыдущей задаче,

слагается из свободных колебаний [см. формулу (5)] и собственно вынужденных

колебаний (15):

[pic] (17)

Первое слагаемое, как было сказано выше, определяет затухающие

колебания, которые, особенно при большом [pic], довольно скоро становятся

мало ощутимыми. Что касается вынужденных колебаний (15), то их амплитуда

(14) не зависит от времени и пропорциональна амплитуде Q периодического

возмущения, так как [pic]. Она отличается от q множителем

[pic] (18)

характеризующим зависимость амплитуды вынужденного колебания от

частоты возмущающей силы.

Определим максимум этой амплитуды. Для этого найдем производную

функции (18)

[pic]

Положив [pic], получим уравнение [pic] (случай р = 0 отбрасывается

как невозможный), корень которого дает частоту внешних сил:

[pic]

при которой, как показывает проверка достаточных условий экстремума,

амплитуда вынужденных колебаний будет максимальной. Максимальное значение

амплитуды равно

[pic] (19)

Формула (19) показывает, что амплитуда колебаний тем больше, чем

меньше п. При малых п частота р близка к частоте собственных колебаний k.

Решение (15) существует всегда, когда

[pic]

В случае [pic]получаем p=k и n= 0, и уравнение (13) превращается в

уравнение (11). Здесь вновь наступает явление резонанса, при котором, как

было рассмотрено выше, вынужденные колебания имеют вид (12).

-----------------------

х

(ст

[pic]

(

х

Р

М

О

О