НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Лекции по матану (III семестр) переходящие в шпоры

Лекции по матану (III семестр) переходящие в шпоры

№1

1 Двойной интеграл

Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией Г,

являющейся замкнутой непрерывной кривой. z = l(P) = f(x,y), P= (x,y) ( D –

произвольные ф-ции определенные и ограниченные на D. Диаметром области D

наз. наибольшее расстояние между граничными точками. Область D разбивается

на n частых областей D1…Dn конечным числом произв. кривых. Если S – площадь

D, то (Si – площадь каждой частной области. Наибольший из диаметров

областей обозн (. В каждой частной области Di возьмем произв. точку Pi ((i

, Di) ( Di, наз. промежуточной. Если диаметр разбиения D ( ( 0 , то число

n областей Di ( (. Вычислим зн-ие ф-ции в промежуточных точках и составим

сумму:I = [pic]f((i, Di)(Si (1), наз. интегральной суммой ф-ции. Ф-ция

f(x,y) наз. интегрируемой в области D если существует конечный предел

интегральной суммы.

Двойным интегралом ф-ии f(x,y) по области D наз. предел интегральной суммы

при ( ( 0. Обозн:

[pic]или[pic]

2 Понятие числового

ряда и его суммы

Пусть задана бесконечная последовательность чисел u1, u2, u3…

Выражение u1+ u2+ u3…+ un (1) называется числовым рядом, а числа его

составляющие- членами ряда.

Сумма конечно числа n первых членов ряда называется n-ной частичной суммой

ряда: Sn = u1+..+un

Если сущ. конечный предел: [pic], то его называют суммой ряда и говорят,

что ряд сходится, если такого предела не существует, то говорят что ряд

расходится и суммы не имеет.

№ 2

1 Условие существования

двойного интеграла

Необходимое, но недостаточное:

Ф-ция f(x,y) интегрируема на замкнутой области D, ограничена на D.

1 достаточный признак существования: если ф-ция f(x,y) непрерывна на

замкнутой, огр. области D, то она интегрируема на D.

2 достаточный признак существования: если ф-ция f(x,y) ограничена в

замкнутой области D с какой-то границей и непрерывна в ней за исключением

отдельных точек и гладки=х прямых в конечном числе где она может иметь

разрыв, то она интегрируема на D.

2 Геометрический и

арифметический ряды

Ряд состоящий из членов бесконечной геометрической прогрессии наз.

геометрическим: [pic] или

а+ а(q +…+a(qn-1

a ( 0 первый член q – знаменатель. Сумма ряда: [pic]

следовательно конечный предел последовательности частных сумм ряда зависит

от величины q

Возможны случаи:

1 |q|1 [pic] и предел суммы так же

равен бесконечности

т. е. ряд расходится.

3 при q = 1 получается ряд: а+а+…+а… Sn = n(a [pic] ряд расходится

4 при q(1 ряд имеет вид: а-а+а … (-1)n-1a Sn=0 при n четном, Sn=a при n

нечетном предела частных суммы не существует. ряд расходится.

Рассмотрим ряд из бесконечных членов арифметической прогрессии:[pic] u –

первый член, d – разность. Сумма ряда [pic]

[pic]при любых u1 и d одновременно ( 0 и ряд всегда расходится.

№3

1 Основные св-ва 2ного интеграла

1. Двойной интеграл по области D = площади этой области.

2. Если область G содержится в Д, а ф-ция ограничена и интегрируема в Д, то

она интегрируема и в G.

3. Аддитивное св-во. Если область Д при помощи кривой г разбивают на 2

области Д1 и Д2, не имеющих общих внутренних точек, то: [pic]

4. константы выносятся за знак интеграла, а сумму в ф-ции можно представить

в виде суммы интегралов:

[pic]

5. Если ф-ции f и g интегрируемы в Д, то их произведение также интегрируемо

в Д. Если g(x,y) ( 0 то и f/g интегрируема в Д.

6. Если f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в Д и всюду в этой области f(x,y) =0 то и

[pic]

7. Оценка абсолютной величины интеграла: если f(x,y) интегрируема в Д, то и

|f(x,y)| интегрир. в Д причем

[pic]

обратное утверждение неверно, итз интегрируемости |f| не следует

интегрируемость f.

8. Теорема о среднем значении.

Если ф-ция f(x,y) интегр. в Д., то в этой области найдется такая точка ((,

() ( Д, что:

[pic](2), где S – площадь фигуры Д. Значение f((, () опред по ф-ле (2)

наз. средним значением ф-ции f по области Д.

2 С-ва сходящихся рядов

Пусть даны два ряда: u1+u2+…un =[pic](1) и v1+v2+…vn = [pic](2)

Произведением ряда (1) на число ( ( R наз ряд: (u1+(u2+…(un =[pic](3)

Суммой рядов (1) и (2) наз ряд:

(u1+v1)+(u2+v2)+…(un+vn) = [pic] (для разности там только - появица)

Т1 Об общем множителе

Если ряд (1) сходится и его сумма = S, то для любого числа ( ряд [pic]=(

([pic] тоже сходится и его сумма S’ = S(( Если ряд (1) расходится и ( ( 0,

то и ряд [pic] тоже расходится. Т. е. общий множитель не влияет на

расходимости ряда.

Т2 Если ряды (1) и (2) сходятся, а их суммы = соотв S и S’, то и ряд: [pic]

тоже сходится и если ( его сумма, то ( = S+S’. Т. е. сходящиеся ряды можно

почленно складывать и вычитать. Если ряд (1) сходится, а ряд (2)

расходится, то их сумма(или разность) тоже расходится. А вот если оба ряда

расходятся. то ихняя сумма (или разность)может как расходится (если un=vn)

так и сходиться (если un=(vn)

Для ряда (1) ряд [pic]называется n – ным остатком ряда. Если нный остаток

ряда сходится, то его сумму будем обозначать: rn = [pic]

Т3 Если ряд сходится, то и любой его остаток сходится, если какой либо

остаток ряда сходится, то сходится и сам ряд. Причем полная сумма =

частичная сумма ряда Sn + rn

Изменение, а также отбрасывание или добавление конечного числа членов не

влияет на сходимость (расходимость) ряда.

№4

1 Сведение

2ного интеграла к повторному

Пусть у1(х), у2(х) непрерывны на отрезке [a, b], у1(х)=u2>=u3…>=un

Если существует ф-ция f(x) неотрицательная, непрерывная и не возрастающая

на [1,+(] такая, что f(n) = Un, ( n ( N, то для сходимости ряда (1)

необходимо унд достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл:[pic], а

для расходимости достаточно и необходимо чтобы сей интеграл наоборот

расходился (ВАУ!).

Применим сей признак для исследования ряда Дирихле: Вот он: [pic], ( ( R

Сей ряд называют обобщенным гармоническим рядом, при ( >0 общий член оного

un=1/n( (0 и убывает поэтому можно воспользоваться интегральным признаком,

функцией здеся будет ф-ция f(x)=1/x( (x>=1)сия ф-ция удовлетворяет

условиям теоремы 1 поэтому сходимость (расходимости) ряда Дирихле

равнозначна сходимости расходимости интеграла: [pic]

Возможны три случая:

1 ( >1, [pic]

Интеграл а потому и ряд сходится.

2 01 ряд расходится

Т(Признак Коши)

Пусть для того же самого ряда (т. е. положительного) существует

предел:[pic], тогда

1 Если k1 ряд расходится

А вот если эти все пределы по Коши и дедушке Даламберу равны 1, то о

сходимости или расходимости ряда ничего сказать низзя. Вот низзя и все тут.

Вот.

№8

1 Вычисление объема

с помощью 2ного интеграла

Рассматривая в пространстве тело Р, огр снизу плоскостью оху, сверху z =

f(x,y), кот проектируется в Д, сбоку границей области Д, называемое

криволинейным цилиндром. Объем этого тела вычисляют по формуле:[pic]

если f(x,y)=0.

тогда [pic]

если в Д ф-ция меняет знак, то область разбивается на 2. Область Д1,

f(x,y)>=0; Д2, f(x,y)=u2>=u3…>=un>=un+1…

2) [pic]

то ряд сходится, а его сумма и остаток rn удовлетворяют неравенствам:

01.

№11

1 Тройные интегралы

Пусть на некоторой ограниченной замкнутой области V трехмерного

пространства задана ограниченная ф-ция f (x,y,z). Разобьем область V на n

произвольных частичных областей, не имеющих общих внутренних точек, с

объемами (V1… (Vn В каждой частичной области возбмем произв. точку М с

кооорд Mi((i,(i,(i) составим сумму: [pic]f((i,(i,(i)((Vi, кот наз

интегральной суммой для ф-ции f(x,y,z). Обозначим за ( максимальный диаметр

частичной области. Если интегральная сумма при ( ( 0 имеет конечный предел,

то сей предел и называется тройным интегралом от ф-ции f(x,y,z) по области

V И обозначается:

[pic]

2 Равномерная

сходимость функциональных

последовательностей и рядов.

Признак Вейерштрасса.

Ф-циональную последовательность {fn)x)} x ( E наз. равномерно сходящейся ф-

цией f на м-ж Е, если для ( ( >0, сущ номер N, такой, что для ( т х ( E и (

n >N выполняется (-во: |fn(x)-f(x)|=0 сходится и для ( x ( E и ( n = 1,2… если выполняется нер-во

|un(x)|0 В силу сходимости ряда (7) сущ. номера N, ( n

>N и вып. нерво [pic]

Следовательно: |S(x)-Sn(x)| = [pic]

Это означает, что Sn(x) ( S(x) что означает равномерную сходимость ряда..

№12

1 Замена переменных

в тройном интеграле.

Если ограниченная замкнутая область пространства V = f(x,y,z) взаимно

однозначно отображается на область V’ пространства = (u,v,w) Если

непрерывно дифференцируемы функции: x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w) и

существует якобиан

[pic]

то справедлива формула:

[pic]

При переходе к цилиндрическим координатам, с вязанными с x,y,z формулами:

x=rcos(, y=rsin(, z=z (0|x0|

№14

1 Определение криволинейных

интегралов 1 и 2 рода

Криволинейный интеграл по длине дуги (1 рода)

Пусть ф-ция f(x,y) определена и непрерывна в точках дуги АВ гладкой кривой

К. Произвольно разобъем дугу на n элементарных дуг точками t0..tn пусть (lk

длина k частной дуги. Возьмем на каждой элементарной дуге произвольную

точку N((k,(k) и умножив сию точку на соотв. длину дуги составим три

интегральную суммы:

(1 =[pic] f((k,(k)((lk

(2 =[pic] Р((k,(k)((хk

(3 =[pic] Q((k,(k)((yk,

где (хk = xk-xk-1, (yk = yk-yk-1

Криволинейным интегралом 1 рода по длине дуги будет называться предел

интегральной суммы (1 при условии, что max((lk) ( 0

[pic]

Если предел интегральной суммы (2 или (3 при ( ( 0, то этот предел наз.

криволинейным интегралом 2 рода, функции P(x,y) или Q(x,y) по кривой l = AB

и обозначается:

[pic] или [pic]

сумму: [pic]+[pic] принято называть общим криволинейным интегралом 2 рода

и обозначать символом:

[pic] в этом случае ф-ции f(x,y), P(x,y), Q(x,y) – называются

интегрируемыми вдоль кривой l = AB. Сама кривая l наз контуром или путем

интегрирования А – начальной, В – конечной точками интегрирования, dl –

дифференциал длины дуги, поэтому криволинейный интеграл 1 рода наз.

криволинейным интегралом по дуге кривой, а второго рода – по функции..

Из определения криволинейных интегралов следует, что интегралы 1 рода не

зависят от того в каком направлении от А и В или от В и А пробегается

кривая l. Криволинейный интеграл 1 рода по АВ:

[pic], для криволинейных интегралов 2 рода изменение направления пробегания

кривой ведет к изменению знака:

[pic]

В случае, когда l – замкнутая кривая т. е. т. В совпадает с т. А, то из

двух возможных направлений обхода замкнутого контура l называют

положительным то направление, при котором область лежащая внутри контура

остается слева по отношению к ??? совершающей обход, т. е. направление

движения против часовой стрелки. Противоположное направление обхода наз –

отрицательным. Криволинейный интеграл АВ по замкнутому контуру l

пробегаемому в положит направлении будем обозначать символом:

[pic]

Для пространственной кривой аналогично вводятся 1 интеграл 1 рода:

[pic] и три интеграла 2 рода:

[pic]

сумму трех последних интегралов наз. общим криволинейным интегралом 2 рода.

2 Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.

Рассмотрим степенной ряд:

[pic](1) Число (конечное или бесконечное) R>=0 наз радиусом сходимости ряда

(1) если для любого х такого, что |x|R ряд расходится Интервал на числовой оси состоящий из т. х для

которых |x|0, то на любом

отрезке действительной оси вида |x|0,

то для всех x ( (x0-h, x0+h) имеет место ф-ла Тейлора:

[pic]где остаток rn(x) можно записать:

[pic](8)

[pic](9) Формула (8) наз остаточным членом ф-лы Тейлора в интегральной

форме. Ф-ла (9) – формулой Лагранжа.

Преобразуя ф-лу Тейлора при х0 = 0 получаем ф-лу Маклорена.

Т3 Если ф-ция f(x) имеет в окрестности т х0 производные любого порядка и

все они ограниченны одним и тем же числом С, т е ( x ( U(x0) |f(n)(x)|N (( ( 0 х ( 0) и ряд сходится абсолютно при |x|>1

4 Разложение ф-ции ln(1+x)

[pic]

сходится при –1=0 во всех точках

материальной дуги лежащей в плоскости оху тогда:

[pic], где S – площадь цилиндрической поверхности, кот состоит из

перпендикуляров плоскости оху, восст в точках М(x,y) кривой АВ.

2 Геометрические и арифметические ряды.

№19

1 Некоторые приложения криволинейных интегралов 2 рода.

Вычисление площади плоской области Д с границей L

[pic]

2.Работа силы. Пусть материальная т очка под действием силы перемещается

вдоль непрерывной плоской кривой ВС, направясь от В к С, работа этой силы:

[pic]

при пространственной кривой там исчо третья функция появитца для буквы зю.

2 Свойства сходящихся рядов

№20

1 Условия независимости криволинейного интеграла 2 рода от пути

интегрирования.

Плоская область ( наз односвязной если не имеет дыр. т. е. однородная.

Пусть ф-ция P(x,y) и Q(x,y)вместе со своими частными производными

непрерывны в некоторой замкнутой, односвязной области ( тогда следующие 4

условия эквиваленты, т. е. выполнение какого либо из них влечет остальные

3.

1. Для ( замкнутой кусочногладкой кривой L в ( значение криволинейного

интеграла:

[pic]

2. Для все т. А и т. В области ( значение интеграла [pic]

не зависит от выбора пути интегрирования, целиком лежащего в (.

3. Выражение Pdx+Qdy представляет собой полный дифференциал некоторых

функций определенных в ( существует ф-ция E=((х,у) опред в ( такая, что dE

= Pdx+Pdy

4. В области ( [pic]

Отседова следовает, что условие 3 является необходимым и достаточным

условием при котором интегралы 2 рода не зависят от выбора пути

интегрирования.

2 Интегральный признак сходимости ряда. Ряд Дирихле.

№21

1 Интегрирование в полных дифференциалах

Пущай ф-ция P(x,y) и Q(x,y) [pic] - непрерывны в замкнутой области ( и

выражение P(x,y) + Q(x,y) есть полный дифееренциал некоторой ф-ции F(x,y) в

( , что равносильно условию: [pic], тогда dF=Pdx+Qdy.

Для интегралов независящих от пути интегрирования часто применяют

обозначение:

[pic]

или

[pic]

А(x0,y0) ( ( , В = (х,у) ( (

поэтому

F(x,y)=[pic]

где (х0,у0) – фиксированная точка ( (, (x,y) – произвольная точка ( ( , с

– const. и дает возможность определить все ф-ции, имеющие в подинтегральном

выражении свои полные дифференциалы. Тк. интеграл не зависит от пути

интегрирования, за путь инт. удобно взять ломаную звень которой параллельны

осям координат. тогда формула преобразуется к виду.

[pic]2 Признаки сравнения

№22

1 Сведение 2-ного интеграла к повторному

Пусть у1(х), у2(х) непрерывны на отрезке [a, b], у1(х)<= у2(х) на всем

отрезке.

D={x,y}: a<=x<=b; y1(x)<=y<=y2(x)

Отрезок [a,b] – проекция Д на ось ох. Для такой области людбая прямая,

параллельная оу и проходящая через внутреннюю точку области Д пересекает

границу области не более чем в 2 точках. Такая область наз. правильной в

направлении оси оу.

Если фция f(x,y) задана на Д и при каждом х ( [a,b] непрерывна на у , на

отрезке, [y1(x),y2(x)], то фц-ия F(x) = [pic], наз. интегралом, зависящим

от параметра I, а интеграл : [pic], наз повторным интегралом от ф-ции

f(x,y) на области Д. Итак, повторный интеграл вычисляется путем

последовательного вычисления обычных определенных интегралов сначала по

одной., а затем по другой переменной.

2 Признаки Даламбера и Коши

№23

1 2 ной интеграл

в полярных координатах

Переход к полярным координатам частный случай замены переменных.

Луч, проходящий из произв точки О имеет на плоскости полярные координаты

A(r, () где r = |ОA| расстояние от О до А полярный радиус. ( = угол между

векторами ОА и ОР – полярный угол отсчитываемой от полярной оси против

часовой стрелки. всегда 0<=r<=+(, 0<=( <=2( .

Зависимость между прямоугольными и полярными координатами: x = r(cos( , y =

r(sin( .

Якобиан преобразования будет равен:

[pic]

И формула при переходе примет вид:

[pic]

2 Знакочередующиеся ряды признак Лейбница

№24

1 Замена переменных

в тройном интеграле

Если ограниченная замкнутая область пространства V = f(x,y,z) взаимно

однозначно отображается на область V’ пространства = (u,v,w) Если

непрерывно дифференцируемы функции: x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w) и

существует якобиан

[pic]

то справедлива формула:

[pic]

При переходе к цилиндрическим координатам, с вязанными с x,y,z формулами:

x=rcos(, y=rsin(, z=z (0<=r<=+(, 0<=( <= 2(, -(<=z<=+()

Якобиан преобразования:

[pic]И поэтому в цилитндрических координатах переход осуществляется так:

[pic]

При переходе к сферическим координатам: r? ( (, связанными с z,y,z

формулами x=rsin((cos(,

y=r sin(sin(, z=rcos(.

(0<=r<=+(, 0<=( <= 2(,

0<=( <=2()

Якобиан преобразования:

[pic]

Т. е. |J|=r2(sin(.

Итак, в сферических координатах сие будет:

[pic]

2 Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда

№25

1 Условия

существования и вычисления криволинейных интегралов

Кривая L наз. гладкой, если ф-ции ((t), ((t) из определяющих её

параметрических уравнений:

[pic](1)

имет на отрезке [a,b] непрерывные производные: (’(t), (’(t).Точки кривой L

наз особыми точками, если они соответствуют значению параметра t ( [a,b]

для которых ((’(t))2+((’(t))2 = 0 т. е. обе производные обращаются в 0. Те

точки для которых сие условие не выполняется наз. обычными (ВАУ!).

Если кривая L=AB задана ф-лами (1), является гладкой и нет имеет обычных

точек, а ф-ции f(x,y), P(x,y), Q(x,y) непрерывны вдоль этой кривой, то

криволинейные интегралы всех видов существуют (можно даже ихние формулы

нарисовать для наглядности) и могут быть вычислены по следующим формулам

сводящим эти интегралы к обычным:

[pic]

[pic]

[pic]

Отседова жа вытекаает штаа:

[pic]

В частности, если кривая АВ задана уравнением y = y(x), a<=x<=b , где у(х)

непрерывно дифференцируемая ф-ция, то принимая х за параметр t получим:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]ну и сумма там тожжа упростица.

ну и наоборот тожжа так будит, если х = х(у)

Если АВ задана в криволинейных координатах ( <= ( <= ( где ф-ция r(()

непрерывно дифференцируема на отрезке [(, (] то имеет место частный случай,

где в качестве параметра выступает полярный угол (. x = r(()(cos((),

y= r(()(sin(().

[pic]

и у второго рода так же.

Прямая L наз кусочно гладкой, если она непрерывна и распадается на конечное

число не имеющих общих внутренних точек кусков, каждый из которых

представляет собой гладкую кривую. В этом случает криволинейные интегралы

по этой кривое определяются как сумма криволинейных интегралов по гладким

кривым составляющим сию кусочно-гладкую кривую.

все выше сказанное справедливо и для пространственной кривой (с буквой зю).

2 Разложение элементарных ф-ций в ряд Тейлора (Маклорена).