рефераты рефераты
 

Главная

Разделы

Новости

О сайте

Контакты

 
рефераты

Авиация и космонавтика
Административное право
Арбитражный процесс
Архитектура
Астрология
Астрономия
Банковское дело
Безопасность жизнедеятельности
Бизнес-план
Биология
Бухучет управленчучет
Водоснабжение водоотведение
Военная кафедра
География и геология
Геодезия
Государственное регулирование и налогообложение
Гражданское право
Гражданское процессуальное право
Животные
Жилищное право
Иностранные языки и языкознание
История и исторические личности
Коммуникации связь цифровые приборы и радиоэлектроника
Краеведение и этнография
Кулинария и продукты питания
Культура и искусство
Литература
Логика
Логистика
Маркетинг
Масс-медиа и реклама
Математика
Медицина
Международное и Римское право
Уголовное право уголовный процесс
Трудовое право
Журналистика
Химия
География
Иностранные языки
Без категории
Физкультура и спорт
Философия
Финансы
Фотография
Химия
Хозяйственное право
Цифровые устройства
Таможенная система
Теория государства и права
Теория организации
Теплотехника
Технология
Товароведение
Транспорт
Трудовое право
Туризм
Уголовное право и процесс
Управление
Радиоэлектроника
Религия и мифология
Риторика
Социология
Статистика
Страхование
Строительство
Схемотехника
История
Компьютеры ЭВМ
Культурология
Сельское лесное хозяйство и землепользование
Социальная работа
Социология и обществознание

рефераты
рефераты

НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Комбинаторика

Комбинаторика

Реферат на тему:

Выполнил ученик 10 класса «В»

средней школы №53

Глухов Михаил Александрович

г. Набережные Челны

2002 г.

Содержание

|Из истории |3 |

|комбинаторики_________________________________________ | |

|Правило |4 |

|суммы___________________________________________________ | |

|Примеры |- |

|задач____________________________________________________ | |

|Правило |4 |

|произведения_____________________________________________ | |

|Примеры |- |

|задач____________________________________________________ | |

|Пересекающиеся |5 |

|множества________________________________________ | |

|Примеры |- |

|задач____________________________________________________ | |

|Круги |- |

|Эйлера_____________________________________________________ | |

|Размещения без |6 |

|повторений________________________________________ | |

|Примеры |- |

|задач____________________________________________________ | |

|Перестановки без |7 |

|повторений_______________________________________ | |

|Примеры |- |

|задач____________________________________________________ | |

|Сочетания без |8 |

|повторений__________________________________________ | |

|Примеры |- |

|задач____________________________________________________ | |

|Размещения и сочетания без |9 |

|повторений______________________________ | |

|Примеры |- |

|задач____________________________________________________ | |

|Перестановки с |9 |

|повторениями_______________________________________ | |

|Примеры |- |

|задач____________________________________________________ | |

|Задачи для самостоятельного |10 |

|решения________________________________ | |

|Список используемой |11 |

|литературы___________________________________ | |

Из истории комбинаторики

Комбинаторика занимается различного вида соединениями, которые можно

образовать из элементов конечного множества. Некоторые элементы

комбинаторики были известны в Индии еще во II в. до н. э. Нидийцы умели

вычислять числа, которые сейчас называют "сочетания". В XII в. Бхаскара

вычислял некоторые виды сочетаний и перестановок. Предполагают, что

индийские ученые изучали соединения в связи с применением их в поэтике,

науке о структуре стиха и поэтических произведениях. Например, в связи с

подсчетом возможных сочетаний ударных (долгих) и безударных (кратких)

слогов стопы из n слогов. Как научная дисциплина, комбинаторика

сформировалась в XVII в. В книге "Теория и практика арифметики" (1656 г.)

французский автор А. Также посвящает сочетаниям и перестановкам целую

главу.

Б. Паскаль в "Трактате об арифметическом треугольнике" и в "Трактате о

числовых порядках" (1665 г.) изложил учение о биномиальных коэффициентах.

П. Ферма знал о связях математических квадратов и фигурных чисел с

теорией соединений. Термин "комбинаторика" стал употребляться после

опубликования Лейбницем в 1665 г. работы "Рассуждение о комбинаторном

искусстве", в которой впервые дано научное обоснование теории сочетаний и

перестановок. Изучением размещений впервые занимался Я. Бернулли во

второй части своей книги "Ars conjectandi" (искусство предугадывания) в

1713 г. Современная символика сочетаний была предложена разными авторами

учебных руководств только в XIX в.

Все разнообразие комбинаторных формул может быть выведено из двух

основных утверждений, касающихся конечных множеств – правило суммы и

правило произведения.

Правило суммы

Если конечные множества не пересекаются, то число элементов X U Y

{или} равно сумме числа элементов множества X и числа элементов множества

Y.

То есть, если на первой полке стоит X книг, а на второй Y, то выбрать

книгу из первой или второй полки, можно X+Y способами.

Примеры задач

Ученик должен выполнить практическую работу по математике. Ему

предложили на выбор 17 тем по алгебре и 13 тем по геометрии. Сколькими

способами он может выбрать одну тему для практической работы?

Решение: X=17, Y=13

По правилу суммы X U Y=17+13=30 тем.

Имеется 5 билетов денежно-вещевой лотереи, 6 билетов спортлото и 10

билетов автомотолотереи. Сколькими способами можно выбрать один билет из

спортлото или автомотолотереи?

Решение: Так как денежно-вещевая лотерея в выборе не участвует, то

всего 6+10=16 вариантов.

Правило произведения

Если элемент X можно выбрать k способами, а элемент Y-m способами то

пару (X,Y) можно выбрать k*m способами.

То есть, если на первой полке стоит 5 книг, а на второй 10, то

выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй можно 5*10=50

способами.

Примеры задач

Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и

коричневые переплеты. Сколькими способами он может это сделать?

Решение: Имеется 12 книг и 3 цвета, значит по правилу произведения

возможно 12*3=36 вариантов переплета.

Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются

слева направо и справа налево?

Решение: В таких числах последняя цифра будет такая же, как и первая,

а предпоследняя - как и вторая. Третья цифра будет любой. Это можно

представить в виде XYZYX, где Y и Z -любые цифры, а X - не ноль. Значит

по правилу произведения количество цифр одинаково читающихся как слева

направо, так и справа налево равно 9*10*10=900 вариантов.

Пересекающиеся множества

Но бывает, что множества X и Y пересекаются, тогда пользуются

формулой[pic], где X и Y - множества, а [pic] - область пересечения.

Примеры задач

20 человек знают английский и 10 - немецкий, из них 5 знают и

английский, и немецкий. Сколько Человек всего?

Ответ: 10+20-5=25 человек.

Также часто для наглядного решения задачи применяются круги Эйлера.

Например:

Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким

языком владеют 30 человек, английским - 28, французским - 42. Английским

и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским - 10,

немецким и французским - 5, всеми тремя языками - 3. Сколько туристов не

владеют ни одним языком?

Решение: Выразим условие этой задачи графически. Обозначим кругом

тех, кто знает английский, другим кругом - тех, кто знает французский, и

третьим кругом - тех, кто знают немецкий.

Всеми тремя языками владеют три туриста, значит, в общей части кругов

вписываем число 3. Английским и французским языком владеют 10 человек, а

3 из них владеют еще и немецким. Следовательно, только английским и

французским владеют 10-3=7 человек.

Аналогично получаем, что только английским и немецким владеют 8-3=5

человек, а немецким и французским 5-3=2 туриста. Вносим эти данные в

соответствующие части.

Определим теперь, сколько человек владеют только одним из

перечисленных языков. Немецкий знают 30 человек, но 5+3+2=10 из них

владеют и другими языками, следовательно, только немецкий знают 20

человек. Аналогично получаем, что одним английским владеют 13 человек, а

одним французским - 30 человек.

По условию задачи всего 100 туристов. 20+13+30+5+7+2+3=80 туристов

знают хотя бы один язык, следовательно, 20 человек не владеют ни одним из

данных языков.

Размещения без повторений.

Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так

чтобы все цифры были различны?

Это пример задачи на размещение без повторений. Размещаются здесь 10

цифр по 6. А варианты, при которых одинаковые цифры стоят в разном

порядке считаются разными.

Если X-множество, состоящие из n элементов, m?n, то размещением без

повторений из n элементов множества X по m называется упорядоченное

множество X, содержащее m элементов называется упорядоченное множество X,

содержащее m элементов.

Количество всех размещений из n элементов по m обозначают

[pic]

n! - n-факториал (factorial анг. сомножитель) произведение чисел

натурального ряда от 1 до какого либо числа n

n!=1*2*3*...*n 0!=1

Значит, ответ на вышепоставленную задачу будет

[pic]

Задача

Сколькими способами 4 юноши могут пригласить четырех из шести девушек на

танец?

Решение: два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку.

И варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами

считаются, разными, поэтому:

[pic]

Возможно 360 вариантов.

Перестановки без повторений

В случае n=m (см. размещения без повторений) из n элементов по m

называется перестановкой множества x.

Количество всех перестановок из n элементов обозначают Pn.

Pn=n!

Действительно при n=m:

[pic]

Примеры задач

Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2,

3, 4,5, если цифры в числе не повторяются?

Решение:

1) Найдем количество всех перестановок из этих цифр: P6=6!=720

2) 0 не может стоять впереди числа, поэтому от этого числа необходимо

отнять количество перестановок, при котором 0 стоит впереди. А это

P5=5!=120.

P6-P5=720-120=600

Квартет

Проказница Мартышка

Осел,

Козел,

Да косолапый Мишка

Затеяли играть квартет

Стой, братцы стой! –

Кричит Мартышка, - погодите!

Как музыке идти?

Ведь вы не так сидите…

И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.

Тут пуще прежнего пошли у низ раздоры

И споры,

Кому и как сидеть…

Вероятно, крыловские музыканты так и не перепробовали всех возможных

мест. Однако способов не так уж и много. Сколько?

Здесь идет перестановка из четырех, значит, возможно

P4=4!=24 варианта перестановок.

Сочетания без повторений

Сочетанием без повторений называется такое размещение, при котором

порядок следования элементов не имеет значения.

Всякое подмножество X состоящее из m элементов, называется сочетанием

из n элементов по m.

Таким образом, количество вариантов при сочетании будет меньше

количества размещений.

Число сочетаний из n элементов по m обозначается [pic].

[pic].

Примеры задач

Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три

кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр.

Решение:

Так как кнопки нажимаются одновременно, то выбор этих трех кнопок –

сочетание. Отсюда возможно [pic]вариантов.

У одного человека 7 книг по математике, а у второго – 9. Сколькими

способами они могут обменять друг у друга две книги на две книги.

Решение:

Так как надо порядок следования книг не имеет значения, то выбор 2ух

книг - сочетание. Первый человек может выбрать 2 книги [pic][pic]

способами. Второй человек может выбрать 2 книги [pic]. Значит всего по

правилу произведения возможно 21*36=756 вариантов.

При игре в домино 4 игрока делят поровну 28 костей. Сколькими

способами они могут это сделать?

Первый игрок делает выбор из 28 костей. Второй из 28-7=21 костей,

третий 14, а четвертый игрок забирает оставшиеся кости. Следовательно,

возможно [pic].

Размещения и сочетания с повторениями

Часто в задачах по комбинаторике встречаются множества, в которых

какие-либо компоненты повторяются. Например: в задачах на числа – цифры.

Для таких задач при размещениях используется формула [pic], а для

сочетаний [pic].

Примеры задач

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

Решение. Так как порядок цифр в числе существенен, цифры могут

повторяться, то это будут размещения с повторениями из пяти элементов по

три, а их число равно [pic].

В кондитерском магазине продавались 4 сорта пироженных: эклеры,

песочные, наполеоны и слоеные. Сколькими способами можно купить 7

пироженных.

Решение: Покупка не зависит от того, в каком порядке укладывают

купленные пироженные в коробку. Покупки будут различными, если они

отличаются количеством купленных пирожных хотя бы одного сорта.

Следовательно, количество различных покупок равно числу сочетаний четырех

видов пироженных по семь - [pic].

Обезьяну посадили за пишущую машинку с 45 клавишами, определить число

попыток, необходимых для того, чтобы она наверняка напечатала первую

строку романа Л.Н. Толстого «Анна Каренина», если строка содержит 52

знака и повторений не будет?

Решение: порядок букв имеет значение. Буквы могут повторяться.

Значит, всего есть [pic] вариантов.

Перестановки с повторениями

[pic][pic], где n-количество всех элементов, n1,n2,…,nr-количество

одинаковых элементов.

Примеры задач

Сколькими способами можно переставить буквы слова «ананас»?

Решение: всего букв 6. Из них одинаковы n1«а»=3, n2«н»=2, n3«с»=1.

Следовательно, число различных перестановок равно [pic].

Задачи для самостоятельного решения

Сколько перестановок можно сделать из букв слова «Миссисипи».

Ответ: 2520

Имеется пять различных стульев и семь рулонов обивочной ткани

различных цветов. Сколькими способами можно осуществить обивку стульев.

Ответ: 16807

На памятные сувениры в «Поле Чудес» спонсоры предлагают кофеварки,

утюги, телефонные аппараты, духи. Сколькими способами 9 участников игры

могут получить эти сувениры? Сколькими способами могут быть выбраны 9

предметов для участников игры?

Ответ: 49, 220

Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8 ладей так,

чтобы на одна из них не могла бить другую?

Ответ: 40320

Сколько может быть случая выбора 2 карандашей и 3 ручек из пяти

различных карандашей и шести различных ручек?

Ответ:200

Сколько способов раздачи карт на 4 человека существует в игре

«Верю - не верю» (карты раздаются полностью, 36 карт).

Ответ: [pic].

В течении 30 дней сентября было 12 дождливых дней, 8 ветреных, 4

холодных, 5 дождливых и ветреных, 3 дождливых и холодных, а один день

был и дождливым, и ветреным, и холодным. В течение скольких дней в

сентябре стояла хорошая погода.

Ответ: 15

На ферме есть 20 овец и 24 свиньи. Сколькими способами можно выбрать

одну овцу и одну свинью? Если такой выбор уже сделан, сколькими

способами можно сделать его еще раз?

Ответ: 480, 437

Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова

«здание»?

Ответ: 9

Сколько существует четных пятизначных чисел, начинающихся нечетной

цифрой?

Ответ: 25000

В книжный магазин поступили романы Ф. Купера «Прерия», «Зверобой»,

«Шпион», «Пионеры», «Следопыт» по одинаковой цене. Сколькими способами

библиотека может закупить 17 книг на выбранный чек?

Ответ:: 2985

Список используемой литературы

Савина Л.Н., Попырев А.В. «КОМБИНАТОРИКА» издательство Елабужский

государственный педагогический институт 1999г

Халамайзер А. Я. «Математика? – Забавно!» издание автора 1989г

Интернет

http:\www.mathclub.zala.ru/0921.html

-----------------------

Если множеств больше, например 5 языков, то также складывается количество

человек знающих английский, немецкий, французский и т.д., отнимается

количество человек, знающих 2 языка одновременно, прибавляется по 3,

отнимаются по 4 и т.д.

рефераты
© РЕФЕРАТЫ, 2012

рефераты