НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - К решению нелинейных вариационных задач

К решению нелинейных вариационных задач

Казанский государственный педагогический университет.

Дипломная работа

«К решению нелинейных вариационных задач».

выполнил студент 151 группы

математического факультета

Салахутдинов М.Ш.

Научные руководители:

КФМН, доцент

Сайфуллин Э. Г.

Ст. Преподаватель Хисматуллина Н.Г.

Казань -1999.

ВВЕДЕНИЕ

Дипломная работа в целом посвящена методам решения экстремальных

задач. Причем более подробно изложены те классы экстремальных задач,

которые не изучаются ни в школьном курсе, ни в педвузовском курсе

математики. Однако основная идея их решения лежит на основе построения

математических моделей экономических задач и их решения.

В первой части дипломной работы рассмотрены простейшие задачи на

отыскание наибольшего и наименьшего значения, которые решаются элементарным

способом - на основе известных неравенств: среднее арифметическое не меньше

среднего геометрического. В случае равенства сумма принимает минимальное

значение, а произведение достигает максимального. Рассмотрены экстремальные

значения квадратного трехчлена, а также решение экстремальных задач с

применением производной.

Далее рассматриваются основные понятия о задачах математического

программирования: транспортная задача линейного программирования;

задача о рационе; задача об оптимальном использовании сырья; рассмотрены

задачи нелинейного программирования (случай нелинейной целевой функции;

случай нелинейной целевой функции и нелинейной системы ограничений).

Во второй части приводятся основные понятия о краевых задачах, примеры

аналитического решения краевых задач, приближенный метод решения.

Приводится сходящийся алгоритм для линейных краевых задач. На основе этого

алгоритма при помощи ЭВМ решены цикл различных краевых задач; численные

результаты приведены в приложениях.

Третья часть посвящена'одномерным вариационным задачам и методам их

решения.

Преимущество данной работы в методическом плане заключается в том, что

вариационная задача, в частном случае, может быть сведена к обычной задаче

на отыскание экстремума функции одной переменной, а поэтому позволяет

ввести понятие вариационной задачи уже в школьном курсе в классах с

углубленным изучением- математики, как новый класс экстремальных задач.

Далее в работе приводится вывод уравнений Эйлера-Лагранжа. На их

основе рассмотрены примеры аналитического решения вариационной задачи.

Получен алгоритм решения линейных вариационных задач на основе метода

конечных разностей, которая не решается аналитическими приемами. На основе

этого алгоритма на ЭВМ решены ряд задач, численные результаты приведены в

приложениях.

Другой метод решения вариационных задач - метод Ритца вводится на

простейших примерах, а затем обобщается. Так как оценка точности метода

Ритца не является тривиальной задачей, то сравнительный анализ численных

результатов весьма актуален.

Решение рассмотренных задач методом Ритца и другими приемами,

сравнительный анализ результатов показывает хорошую достоверность этого

метода уже в первом приближении.

В заключении приводится одна новая модификация метода Ритца, при

помощи которой вариационная задача сводится к достаточно простой задаче

отыскания экстремума функции одной переменной. При этом процедура

нахождения корня нелинейного уравнения выполнима лишь приближенными

методами. Сравнительный анализ численных результатов показывает надежность

метода. Основная ценность этой модификации в решении существенно нелинейных

задач.

В конце третьей части этой работы приводится идея обобщения

рассмотренных задач на двумерный случай и методом Ритца решается двумерная

задача.

I. ОБ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ

1.1. Определение экстремума элементарным способом

Во многих учебных пособиях для 7-х и 8-х классов встречаются

неравенства, связывающие среднее арифметическое и геометрическое:

[pic]

^ ^

С-г I

где среднее арифметическое больше или равно среднего геометрического,

что очевидно:

°^-^^Г-=? а^г 2.1/ЙГ»;> ({&')^({Г)^ г^\1аГ^ {fS-fT)\0

Причем равенство возможно только при ft=6. При помощи этого

неравенства решаются задачи на экстремум:

1) Положительное числоД представить в виде суммы положительных

слагаемых х и^-^так, чтобы их произведение х-(/^-х) было наибольшим.

Решение: Найти х?о (/Ьх^при гл-сх-х Е Х (А-У)'3 __ о Пусть о-=Х и

&=/4-х. Знаем, что ^^clx (a-5J-w-axV'aS = а——

При 0-^0

т.е. ?< = А-У — Х= ^/^

2) Найти прямоугольник, имеющий данный периметр Р и наибольшую

площадь. Пусть о. и ^ - стороны прямбугольника, тогда .?= 2-(o-t-e) .

Площадь ^а-с' принимает максимальное значение как произведение двух

положительных чисел при (Х-^о. Тогда J?=\- 0)

~t -L < П-

2. Среднее геометрическое: jl^ -•^ Q.^-CLa.-,„ ' Л^. (2)

3. Среднее гармоническое: ^ = ^ ^^..^ Уси (3)

4. Среднее квадратичное: /Ц -: \ О-^-ь О-а- +^•• -^ ^

(4) ^ v п-

Наша задача состоит из двух частей:

а) доказать, что числа А/г, Л. ^/ -^ -действительно средние

величины для СЬ, О-а., - •-, 0^- ,

б) установить неравенства между ними.

В выражении (1) заменить все йс ( L r // ^ • -, п-) самым

наименьшим из них Л< ; получим М^ ^ Д< . В выражении (1) заменим все СШ

наибольшим из них OLr^ ; получим -/У/ l^ Cin. .

Итак:

Аналогично доказываем неравенства:

а/ ^Н^ ^ (^ , а,^ ^ ^ а^ , а< ^ У^ ^ ^ .

Справедливы следующие неравенства:

^ ^ ^-^. ^-л^

^ ^УЧ^ - ^а/-с^-... •а^ '^ q^^^-^q^ ^ -

п-

и причем неравенство возможно только при (Xt •= 0-f. ^... ^ CU^. В случае

^-^2 - {07~а! ^ ^ ^g2- .

Мы уже это доказали, с общим доказательством можно ознакомиться по книге.

Там же приводится доказательство

Я^ ^УЧ.2 , -Л^ ^-^

1.Если г\ = Ct-f ^-Ол-^-...+• ftn. , то максимальное значение О^-О.г,--

^ достигается при ol< ^ CLa. s.. ^ ^. = ^ /^ ,

^(a,.cu-..-^)-^-^-...-^A-W.

2. Если Р= ^< • ds.' •.. ' Л^ , то минимальное значение (а^ <^^-"

^^'-у достигается при CUf Ол^'-- =" o ^ ^ (е-(-^) = 2ае^о, п^>

г^с^ У- У (- ^/2о.)^ иначе г^гъ У=^(~ wq,) .

В пункте 28 [1] хорошо изложены правила нахождения максимальных и

минимальных значений функций.

Однако при решении некоторых задач применение элементарных способов

более эффективно, чем применение производной. Например, задача № 367

решается очень просто элементарным способом:

Данное положительное число разложить на два слагаемых так, чтобы

произведение было наибольшим.

Решение: Пусть U - данное число, а X - одно из слагаемых. Из условия

^а^ L X^-^J только при Y= О-- Х .находим Х= °-/S .Обобщение этой задачи,

решаемое в вузовских курсах при помощи экстремума многих переменных

следующее.

Задача 3. Положительно^число OL требуется разбить на П.

неотрицательных слагаемых так, чтобы и произведение было наибольшим. Если

.3 , то она будет иметь на нем наименьшее

и наибольшее значения. При ^>о наименьшее значение у принимает

17

в точке л;= t/ , а наибольшее - в точке л'=/; при H^o функция У в точке Je-

=<^ принимает наибольшее значение, а в точке л'=^ - наименьшее.

Задача. Расстояние между двумя шахтами А и б по шоссейной дороге 60

км. На шахте А добывается 200т руды в сутки, на шахте В - 100т в

сутки. Где нужно построить завод по переработке руды, чтобы для ее

перевозки количество тонно-километров было наименьшим?

Решение: Выясним, что суммарное количество тонно-километров изменяется

в зависимости от места нахождения завода, вычислив его, например, для

случаев, когда завод находится от пункта А на расстоянии 30 км, 20 км,

10 км. Далее приступаем к решению задачи, обозначив расстояние от

завода С до шахты А через х:

А С ^ ж ; 6С= 60-х- Количество тонно-километров, пройденных

транспортом от А до С за каждый день, составляет 200 ткм, а от В до С

- 100*(60-JC) ткм. Суммарное количество (ткм) выразится функцией

f^^pOx.-^ {0Ј>( ео-зе.)-^ ^оОх. т- ёооо, д

которая определена на сегменте L. О , 60.1.

ysssas-SL...^- ,,-..^ ^ и { /2а\^/^ то данная функция принимает одно и

• - •/ / с.2'

Решение: Найдем максимум произведения -х— • -"— ' -fc— , т.к. зсл/i а2-

У с.3 (J

у 22

максимально при тех же условиях, что и -•х . у -. z—. По уело -

а.-2- ^ eQ -

л5- у2 г2 ,

вию —— + -^- ^ —з- = < , тогда должно выполняться равенство:

Тг^- Ч^ ? ^ • JЈ У 2 ^

-a-s" :: g7- = ~сТ или -а"^ '^^'с'^ уу . Т.к. сумма слагаемых

постоянна, то их произведение будет наибольшим когда они равны. Тогда

m-OLK (^г}^ л-8-е -- /Г о ее. Ответ: ^•^•^ о

m-CLX (^i) = j^^g в пункты В/,

bj, б»з составляет G, , С^ ,Сщ рублей. Требуется организовать перевозку

так,

чтобы общая стоимость этой перевозки была наименьшей. Все данные

представим в виде таблицы 1.

|^^ |В/ |fi. | |^ |Кол-во |

|/•"^ | | | | |отправленного|

|t ^^^ | | | | |груза |

| | |е^ | |(^ |(^ | |

|А, |^ | |^2 | |^3 |й< |

| | |Сг/| |С??|Сгз | |

|А. |х„ | |^2 | |•Ггз |ft, |

|Кол-во |&< |^ |^ | |

|доставленного| | | | |

|груза | | | | |

Таблица 1

20

Математическая модель задачи

Обозначим через -^-количество груза, перевозимого со станции aj в

пункт 6^ . Тогда общая стоимость перевозки будет + При

этом Jl^t .?. о и удовлетворяет условиям:

[pic]

^ с/, х„ ^ е^ ^ ^... ^ ^з -г^ - и и е^; (

В нашем случае оно примет вид:

' З^У.О^г.О Г О ^ эеf^ ^0

^у^2^ ^ ^^у^^ ^/;

^^^0,^^90 ] / JC^y^-У^

1^^ ^^^У^^6?0

Тогда: -^ S^-h^^f-h 2- lsoo- (y^J -^S L W- X. J + + 3 ^^-^ + ^ L~ Юч-

зе^З ш^ А зе^У + ^30 U f)

i Решение системы неравенств (2 ) будет выпуклое ограниченное

множество М. Рис. 1, а линейная форма т= х^У ^230 принимает при этом

минимальное значение на стороне C^6J множества J4., т.е. на прямой

"я^^ЧО Здесь решение задачи есть множество точек отрезка прямой Г^З

. Итак, мы можем взять любую точку на прямой х+-У= Ю . Возьмем, например,

точку A (f0',o) , т.е. 'JC-^OC^ Ю, У^О . Тогда

а?/з = ^0 , Хц ^ f0 , Лгг ^ 90, Х^ъ =0.

21

При этих значениях таблица 1 - принимает вид:

|^^ь. |&г |В. |Вз |Кол-во |

|,4;-^ | | | |отправленного|

| | | | |груза |

|А, |Ю |о |f30 |^00 |

|Аг |40 |90 |о |/60 |

|Кол-во |1^0 |90 |/зо | |

|поставленного| | | | |

|груза | | | | |

При такой схеме перевозок затраты на них будут наименьшими и равны 1300.

[pic]

22

1.7.2. Задача о рационе

1. Поставка задачи

Пусть известно, что животному ежедневно надо выдать о^ единиц жиров

В/ , ш - углеводов Вг , V, - белков В^ . Для откорма животных можно

закупать 2 вида комбикормов. Единица веса первого корма dy содержит ^f2, ^д=^ 0,^2 , Q^ ^, ^a ^/ ^ ^ gs.^ =^

CZ^i = / , С/ ^ Q 2 ^д. ^ ^ 3 , л? ^ д?/, js/ = •2?-2 .

Множество решений системы неравенств:

( .6 2 э^ + ^у ^ ^ ^^1 + ^ ^- ^

есть открытый многоугольник А - (рис.2)

Среди всех точек этого множества нужно найти такую, координаты которой

минимизируют линейную форму +=с^5х+ о, -5 У . Если зафиксировать какое-

нибудь значение выражения -f= С , то получим линейное уравнение с двумя

неизвестными ^S-sa-O^y^c ^ график которого есть прямая. При изменении от

~т>одо оо прямая o^v.-t-Qb'd^c , смещаясь параллельно самой себе,

"зачертит" всю плоскость. При некотором значении с = С/ эта прямая

достигнет многоугольника М в точке В • Очевидно, в этой точке -f примет

наименьшее значение. Координаты точки В, находим решив систему: Г 2 х- i-

y ^ G

i - ^ \ -?гс< +3^1 ^{2 L лу s^, эс^^О

Решение:

Область допустимых решений представляет собой многоугольник АВСЕ

(рис.3). Проводя из точки М, как из центра, окружности различных радиусов,

получим: минимальное значение функции г (SZ>)=196/13 принимает в точке Ю

(24/13, 36/13), в которой окружность касается области решений. Точка ^) не

является угловой, ее координаты находят решая систему уравнений,

соответствующих прямым /Йс> и CЈ~ . Имеется два локальных максимума: з (

д\ = (f-^)^ + (о-б)2 = ^•5' ;

i(^}-- C&-^)2 + (о~б)2 = Ю

6 . ^

рис.3 Пример 2

Пусть область допустимых решений остается прежней, а й-s (,Т/-^) ^ - i |(е) |, то вершина А есть точка глобального |

| | | |мак- |

|симума. |\. |•|—|— — |---^м | | |

| | | |-| | | | |

| | | | |- |/ 1 | | |

| | | | | |/ | | |

| | |f|i| |/ | | |

| | |-|s| | | | |

| | | |,| | | | |

| |н |\| | | | | |

| | |^| | | | | |

| | | | | | | | |

| | |^| | | | | |

| | |•|s| |/ | | |

| | |^| | | | | |

| | |,| |\ |( | | |

| | |'| | | | | |

| | |'| | | | | |

| | | | | | | | |

| | | |/| |• ':; ' •-- | | |

| | | |'| |г | | |

| | | |/| | | | |

| | | |/| |^. 1 | | |

| | | |/|// | | | |

| | | |/|/ / | | | |

| | | | | |у | | |

| | |в| |/ | | | |

| |f |\| |f / |/ / / \>•~- | | |

| | | |\|.А |Г4 |.—^-^-| |

| |б |Г л |ч |6 |'> |

| | | | |-^ | |

26

Минимальное значение функция принимает в точке A .Ее

характеристическое уравнение будет: ^^ ^-^0 и />^ = ± 2с . Поэтому :

у^ Cf сс>5 ^ус + gl s^n. S. за. . общее решение.

С,-о

0 - ^

a) r^fo)=o (C}-cc5^ o^Ci-^nSO^O \и[^}^1 " \_Cf-cv^-e/^^C,L-^S-

8/^S.

"7= ri / s'.^ о - единственное решение (см.рис.3).

[pic]

б)С^с^о C^-co^-o^ C^-s^tS.o^o г е^о

[§Un]^o ^iCf-c^^c/l^ Gi- ^^-71-- о ^iCt-о^о

в)

отсюда: С{ = о, С д. - любое число, поэтому множество решений

будет и = Сл • •sin l^W^2. ^ i^-cps^n ^ Q-5-

.A-^ = 2. ^ i^ = %nS^^

=• оо

, т.е. нет решения.

/

ТГ у

рис.3

[pic]

при краевых условиях:

II. Решить уравнение ^ - 5^ - ,

получим: ii =~ Сл--сравнению с задачей Коши для того же дифференциального уравнения.+^)^^^^)']-k

Будем иметь а-

Будем иметь а'

щ-w'.) <^-/^ (о^ ^•°)^ (W^y^- ^

-. (^)^^S.^ . (^L)^^ ^-^ ^

(W^^^^-0^

Будем иметь а-

-+

Составляем систему уравнений для определения ^ ^ ^ /Л, искомой

ломаной:

^н^' 2(^'OJ•/ ^ -^^^^"^^'^^ ^^0

^ '-[(^•д ^^/ +^•г^^X^+ ^.г.^ •^ -о •^гГ^•г^-^/+^^-м^+^^'^L7г=o. ^-f^'^-^-

^^'^^^'^^ ^

po , получим уравнение Эйлера

[pic]

которому должна удовлетворять искомая функция у/х.), реализующая

экстремум. Аналогично может быть получено основное необходимое условие

экстремума в других вариационных задачах.

43

3.3. Алгоритм решения линейной вариационной задачи

Рассмотрим задачу:

Найти ivbin. У tu 3 , где

^ i-[ [ {^^^^^-IW^-^

^ ^.y/J.,,.[(^L/.^^^.^.^JJ =9^,,^

(2) где ^ . ^(^), fc - W,- К- ^(^)-

Условие минимума ^ , т.е. /э<^ ^О будет:

г0^-^ = ^

-^^ал^-^ = &

-^0^-^ = ^.з (3)

^ '^-^ •+а^^^ -^ = &^ где 0;=^^/.; (с-^Л -^^) ,S^^~^^ ' ^ ^-^'^-^ & --

^. Л--^^. ^-^

После элементарных преобразований система (3) примет вид:

^^ "^ = '^ ^-ys ~ ^

(3')

С^^ уа-ц - ^•г ^ oi^-i.

Сп-у Un--f = ctfi-f где Ci^a, ^ c^^CUi-f--^- ; cl^&,

;

^= &./ + ^- , е./^.-^-^

L-^(~ / . Рассмотрим примеры решения вариационных задач по алгоритму (5)

(см.приложение 2).

45

3.4. Понятие о методе Ритца

Проиллюстрируем идею метода на простом примере ( этот пример не имеет

аналитического решения). Пусть ищется минимум функционала:

^

У^-М -f (у^ x у)^ W

О

при краевых условиях

'о)-О ; у/О^/ (2)

Приближенное значение будем искать в виде:

^-.x^^-^(^-x)^„,^C^x^(^-^).

При этом первое слагаемое всегда удовлетворяет краевым условиям (2),

а остальные слагаемые удовлетворяют однородным краевым условиям

у^)=с^^'^=б>,такчтовсясумма ^= х-^-С^зс^-^)ч- „,+ С^Л Y/~^

удовлетворяет краевым условиям (2).

Рассмотрим решение при n^f, т.е. решение ищем в виде Ч^ х+ ^^{f~'x-

)•

Тогда подстановка его в (1) дает:

^- J [ (^ (^)}^ ^(эс + ^ое- С. ое г) 'J^ . о

[pic]

Г f ^ С, ~ ^ (^ ^)эе + ^ С^эе. i ч- f^^/^--^С. (^ С^^ ^ ^ ^Лос--^ (^

С,) ^

-1^{^с^).^с^-^)^

-Чтобы найти минимум этой функции, приравняем к нулю произвол-

ную ^ -1- (^) - ^(^С,). ^- Сг - о ^

С/ = -0,0 70 f-Р.

46

Тогда решение (1) в первом приближении будет:

и-, х- - о, о У е^де (^-^) = о, ^w^-x^ О, 9Ј <^ л- ^ ^

В общем случае для двуточечной вариационной задачи

? J'-JF ^ ^ ')с(^ ; ^).А ^г)- 6 о)

а-приближенное значение можно искать в виде:

u-fy ^ J^L^)^ ^-а)[с^-ё)...^ ^ ^-S) 'J (4)

(j f) ~0-

Итак, основная идея метода Ритца заключается в том, что искомая

функция ищется в виде, включаемой несколько произвольных постоянных

(параметров) ^ :

у. ^ (^е^с.,.^Сп.) (5)

При этом правая часть S^f^ ^/,. , Сл.) выбирается так, чтобы для любых

Ci удовлетворялись граничные условия:

^) - ^(л, С.,.., и.) = / , ^)- ^ С/,.., и. ; ° 6.

Подставляя (5) в функционал (3) получаем функцию от неизвестных С^,

Сз.,---, Сп,'.

^J^x^f^,..,^)^ ^ (^е.,.., (^)о(^ - ^,... ^

о'

Тем самым задача об экстремуме функционала сводится к задаче об

экстремуме функции от п. независимых параметров ^ ^ ... ^ С^ .

47

3.5. Примеры решения вариационных задач методом Ритца

[pic]

1) Найти решение вариационной задачи:

•у^ -1 d/' ^"+ ^у)^ •' у ^ °- ^-0 •?-

Ищем решение в виде: ^ •= с^ Х.(^~ ^ )'= °<^ ( л'- х- J • .^—^-r ''•^(i-

Ул* -- v- / л

- -» /* . 1 П

. / Л -t ^ '^

Л

Тогда ^ j , П^Y/^- ^Y^-z^^^^^-^^J^ -

/. " о ^Jf^Y/^a-^a^^^ai^-a^^^^^^it^J^ .

-0^^^-^;. ^ -^/^^ ^-^-Отсюда и^ = - s (ус- ^)^ и-(^

Найдем точное решение: /^ - (f^') = 6?^^/ ^У ^ :у "=> ty= ^ с ^ ^)- ^

Будем искать решение в виде:

- у^ ^ ^- За: ^^ /^-^^ В такой форме она удовлетворяет краевым

условиям:

f ^ ^= ^3-^^^/^-^'У^^ L ^ [i) -^-з-^ ^ff-^)- ^

48

Имеем: ^

y^J=7/^^'^-3J^ ^-^-.^'-^J ]^-

о -Откуда:

М^Й- = {(^^)^E^f^)-^3 ^ 5-fx-^E ^ -^ ^

^оГГ^ L ,

^ ^^~x9J }А=о - ^f^^ffo^f +^0^o-^^-^^

Решение ^/^ = 5,^/3^^- ^^/-Зд:^^ -= 4^-3 г -з,о^/3^--г^

|г^ |О |0,25 |0,5 |0,75 |1 |

|^ |4 |2,6798 |1,7397 |1,1798 |1 |

|^^-Зг. |4 |3,2500 |2,5000 |1,7500 |1 |

^

Пока о достоверности решения у /• /а^) судить очень трудно,

необходимы более высокие приближения.

3) Найти решение вариационной задачи

н^у] -JY.?v^v^, yfo)^)-o.

С?

имеем:

Точное решение:

Р = J?JC.Vi- U

^-^/' ^-^//^

Общее решение: у "= ^ (? -i- Cx.o. Из условий ufo)-=^ , и^^у^о

е,- -1—— --^

Тогда точное решение задачи будет:

49

^ -X

е -е е^е^

- х ^ ^

/7)Е fb ^w-л - ^^^'- e~x;- ^ •

Методом Ритца в первом приближении решение ищем в виде:

^^^^-^ -.^jj<^- %c^^a^^^};

(р^с)-^^^ ^у^е^о ^ с^-^.

Итак решение по Ритцу:

^-i-^

Сравнительная таблица имеет вид:

|Л. |0 |0,5 |1 |1,5 |2 |

|у^ |0 |-0,275 |-0,3571 |-0,2758 |0 |

|^г) |о |-0,2126 |-0,3520 |-0,3258 |0 |

50

3.6. Об одном подходе к решению нелинейных вариационных задач

В отличии от метода Ритца, искомую функцию в двуточечной вариационной

задаче зададим в виде:

r-^^f^-^^

При этом граничные условия и{а ) = А, ^• (б/=- /З выполняются, а ^

является искомым параметром. Решим этим методом пример из пункта 3.3.

Имеем:

Г-°\^ ^ - х ^е - ^j ]Т^)^Г^-^^^^ -j^-w

л/

Минимальное значение функционала J соответствует минимальному значению

функции У/о^ . Найдем /^»г- •f( с/ = ± d • При этом мы приходим

по существу к задаче Дирихле для уравнения Пуассона ^ у. у- i^y ="У С^^}^

г^;Г^г^/;/^ ^/;-/^г^-/;~/;=влллели,Kj2/6);

writeln(ff,' ',xx[i]:1: 2_,' ' ,y[i]:1: 3, ' ,j2: 1:

2,' ',у2: 1: 3);

i: =i+l;j2: =j2+0. 01; end;

writeln(ff,' ',хх[100]: 1: 2,' ',у[100]:1: 3, ' ,з2: 1:

2,' ' ,у2: 1: 3);

close(ff);

end.