|0 |1.000000 |-0.158000 |-1.151000 |0.137271 |Нет |
|1 |0.862728 |-0.013000 |-0.976000 |0.013119 |Нет |
|2 |0.849416 |-0.000467 |-0.958000 |0.000487 |Нет |
|3 |0.848929 |-0.000009 |-0.958000 |0.000009 |Да |
|4 |0.848920 | | | | |
В результате проделанной работы мы определили один корень уравнения вида
tg(0.5x+0.2)=x2 графически,а затем уточнили его методом Ньютона и получили
X=0.848929
Вывод по решению:
В результате проделанной работы мы определили один корень уравнения
Tg(0.5x+0.2)=x2 графически, а затем уточнили его методом Ньютона и получили
x=0.848929
2.Задача 2
2.1.Постановка задачи
Выбрать формулу интерполяции и с её помощью определить значение функции в
точке x=0,38.Функция задана в виде таблицы 2.1 ,Степень интерполяционного
многочлена равна 3.
Таблица 2.1
|0,15 |0,860708 |
|0,25 |0,778801 |
|0,30 |0,740818 |
|0,40 |0,670320 |
|0,45 |0,637628 |
|0,55 |0,576950 |
|0,60 |0,548812 |
|0,65 |0,522046 |
|0,70 |0,496585 |
|0,75 |0,472237 |
2.2.Решение
Решение будем производить методом Лагранжа.Oцениваем шаг
h=xi+1 -xi
В этой таблице h=const.Для интерполяции функции с произвольно задаными
узлами выбираем интерполяционный многочлен Лагранжа:[pic]
[pic];
Выражения,называемые коэффициентами Лагранжа:
[pic]
Далее построим матрицу Лагранжа:
[pic]
Обозначим произведение строк через [pic],а произведение элементов главной
диагонали через [pic],тогда :
[pic]
[pic]
[pic]
Вычислим её:
[pic][pic][pic]
отсюда:
Пn+1=4,00384 .10-9
D0=7,68488.10-6 D5=1.1475.10-8
D1=-1.84275.10-7 D6= -1.16944.10-8
D2= 4.2525.10-8 D7=2.3625.10-8
D3=2.92313 10-9 D8= -8.91.10-8
D4= -7.0875.10-9 D9=7.86713.10-7
Далее по формуле:
[pic] ,
имеем
[pic]
В результате проделанной работы мы произвели интерполяцию функции заданной
таблицей 2.1 и получили значение функции в точке х=0,38 y=0,683860.
О справедливости полученного результата мы можем судить из того ,что точка
х=0,38 находиться точками х=0,30 и х=0,40 и искомое значение должно
находиться между соответствующими значениями этих точек. Полученное
значение y=0,683860 находиться в пределах между y(0.30)=0.670320 и
y(0.40)=0.740818.
Следовательно решение верно.
3.Задача 3
3.1.Постановка задачи
[pic]Решить систему линейных уравнений:
9.3x1+(1.62+()x2+6.1x3+1.9x4=-12.65+(;
4.92x1+7.45x2+(9.7-()x3+2.46x4=10.21;
4.77x1+(6.21+()x2+9.04x3+2.28x4=13.45;
3.21x1+(2.65-()x2+3.69x3+6.99x4=-10.35.
методом Гаусса. Все расчёты ведите с тремя значащими цифрами после запятой.
2)Результаты вычисления прямого хода представьте в виде таблицы с контролем
в виде суммирующего столбца. Вычисления обратного хода сделайте подробно,
записав все промежуточные вычисления.
3.2.Решение
Перепишем систему линейных уравнений в виде:
9.3x1+(1.62+0.8)x2+6.1x3+1.9x4=-12.65+3.6;
4.92x1+7.45x2+(9.7-0.8)x3+2.46x4=10.21;
4.77x1+(6.21+0.8)x2+9.04x3+2.28x4=13.45;
3.21x1+(2.65-0.8)x2+3.69x3+6.99x4=-10.35.
9.3x1+2.42x2+6.1x3+1.9x4=-9.05;
4.92x1+7.45x2+8.9x3+2.46x4=10.21;
4.77x1+7.01x2+9.04x3+2.28x4=13.45;
3.21x1+1.85x2+3.69x3+6.99x4=-10.35.
Введём обозначение:[pic]или[pic]
а15,а25,а35,а45---свободные члены
[pic]---суммирующий (контрольный) коэффициент
Прямой ход. Заполнение таблицы:
1.Запишем аij в четырёх строках и пяти столбцах раздела 1
таблицы(i=1,2,3,4,j=1,2,3,4,5)
2.Стимулирующие аi6 запишем в столбце ( (столбец контроля)
3.Вычисляем b1j=a1j/a11 (j=1,2,3,….6) и запишем в пятой строке раздела 1
4.Вычисляем [pic] и проверяем совпала ли она с b16 c вычисления ведутся с
постоянным количеством знаков после запятой). В противном случае проверяем
действия пункта 3.
5.Вычисляем b1ij(1)=aij-ai1.b1j(i=2,3,4 , j=2,3,….6) и записываем их в в
первые три строки раздела 2.
6.Проверка. Сумма элементов каждой строки [pic] и [pic] должен совпасть с
указанной в п.4 точностью, иначе надо проверить п.5.
7.Вычисляем [pic] и записываем в четвёртой строке раздела 2
8.Проверка как в п.4.
9.Вычисляем [pic] и записываем в первые две строки раздела 3.
10.Проверка как в п.4.
11.Вычисляем [pic] (j=3,4,5,6) и записываем в третьей строке раздела 3.
12.Проверка как в п.4.
13. Вычисляем [pic] и записываем в первую строку раздела 4.
| |i |ai1 |ai2 |ai3 |ai4 |ai5 |(ai6 |
|1 |1 |9.3 |2.42 |6.1 |1.9 |-9.05 |10.67 |
| |2 |4.92 |7.45 |8.9 |2.46 |10.21 |33.94 |
| |3 |4.77 |7.01 |9.04 |2.28 |13.45 |36.55 |
| |4 |3.21 |1.85 |3.69 |6.99 |-10.35 |5.39 |
| | |1.0 |0.2602 |0.6559 |0.2043 |-0.9731 |1.1473 |
|2 |2 | |6.1698 |5.6730 |1.4548 |14.9977 |28.2953 |
| |3 | |5.7688 |5.9114 |1.3055 |18.0918 |31.0775 |
| |4 | |1.0148 |1.5846 |6.3342 |-7.2263 |1.7073 |
| | | |1.0 |0.9195 |0.2358 |2.4308 |4.5861 |
|3 |3 | | |0.6069 |-0.0547 |4.0690 |4.6212 |
| |4 | | |0.6515 |6.0949 |-9.6931 |-2.9467 |
| | | | |1 |-0.0901 |6.7045 |7.6144 |
|4 |4 | | | |6.1536 |-14.0611|-7.9075 |
|5 | | | | |1 | |-1.2850 |
| | | | |1 | |-2.2850 |7,4986 |
| | | |1 | | |6,4986 |-2.0059 |
| | |1 | | | |-3.0059 |-2.9866 |
| | | | | | |-3.9866 | |
Обратный ход:
[pic]
[pic]
[pic]4.5861-0.2358(-1.2850)-0.9195.7.4986=2.0059
[pic]
x1=b15-b14.x4-b13.x13-b12.x2=-0.9731-0.2043(-2.2850)-0.6559 . 6.4986-
0.2602.
(-3.0059)=-3.9866
[pic]1.1473-0.2043(-1.2850)-0.6559 . 7.4986-
-0.2602 . (-2.0059)=-2.9866
[pic]
Вывод по решению:
В результате проделанной работы мы решили систему из четырёх уравнений
методом Гаусса и получили: X1=-2.2850; X2= 6.4986; X3=-3.0059; X4=-3.9866.
4.Задача 4
4.1.Постановка задачи
Дано дифференциальное уравнение :
[pic]
где (=0,5 (=0
Начальное условие y(0)=0
Необходимо найти методом Рунге-Кутта его решение на отрезке (0;0,3(
c шагом h=0.1
4.1.Решение
Дифференциальное уравнение :
[pic]
решаем методом Рунге-Кутта по вычислительной схеме приведенной в
методическом указании по выполнению курсовой работы.
Для вычисления воспользуемся таблицей 4.1. включив в неё вычисления правой
части f(x,y).
Наиболее часто используется метод численного интегрирования
дифференциальных уравнений первого порядка.
y'=f(x,y), y(x0)=y
Метод Рунге-Кутта четвёртого порядка.
В этом методе на одном шаге интегрирования при вычислении
yi+1=yi+(yi
приращение (yi определяется как сумма четырёх приращений взятых с
различными весовыми коэффициентами :
[pic]
Порядок заполнения таблицы:
1. Записываем в первой строке таблицы данные правой части x0 ,y0
2. Вычисляем f(x0,y0),умножаем на h и заносим в таблицу в качестве (1(0).
3. Записываем во второй строке таблицы [pic]
4. Вычисляем [pic]) умножаем на h и заносим в таблицу в качестве
[pic].
5. Записываем в третьей строке таблицы
6. Вычисляем [pic],умножаем на h и заносим в таблицу в качестве [pic].
7. Записываем в четвёртой строке таблицы [pic]
8. Вычисляем [pic] и умножаем на h заносим в таблицу в качестве (4
9. В столбец [pic]записываем числа [pic]
10. Суммируем числа стоящие в столбце [pic] делим на 6 и заносим в таблицу
в качестве [pic]0
Вычисляем y1=y0+[pic]0.затем продолжаем вычисления в том же порядке
принимая за начальную точку (x1,y1)
Таблица 4.1.
|i |x |Y |( =hf(x,y) |(y |
|0 |0.00000 |0.00000 |0.05714 |0.05714 |
| |0.05000 |0.02857 |0.05514 |0.11028 |
| |0.05000 |0.02757 |0.05517 |0.11034 |
| |0.10000 |0.05517 |0.05253 |0.05253 |
| | | | |0.05504 |
|1 |0.10000 |0.05504 |0.05112 |0.10224 |
| |0.15000 |0.08060 |0.04938 |0.09876 |
| |0.15000 |0.07973 |0.04945 |0.09890 |
| |0.20000 |0.10445 |0.04333 |0.04333 |
| | | | |0.05721 |
|2 |0.20000 |0.10087 |0.05128 |0.10256 |
| |0.25000 |0.12651 |0.04199 |0.08399 |
| |0.25000 |0.12187 |0.04257 |0.08514 |
| |0.30000 |0.14344 |0.03849 |0.03849 |
| | | | |0.05169 |
|3 |0.30000 |0.15256 | | |
В результате проделанной работы мы нашли решения дифференциального
уравнения :
[pic]
методом Рунге-Кутта и получили следующие решения:
Y(0)=0
Y(0.1)=0.05504
Y(0.2)=0.10087
Y(0.3)=0.15256
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М: Наука,
1970.
2. Кувыкина М.И. Методические указания по курсу информатика. – М.: 1996.
3. Фокс Д. Бейсик для всех. – М.: Энергоатомиздат , 1987.
-----------------------
[pic]