НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения

Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения

Интеграл по комплексной переменной.

Определение 1: Кривая Г называется гладкой ,если она имеет непрерывно

изменяющуюся касательную.

Определение 2: Кривая называется кусочно-гладкой ,если она состоит из

конечного числа гладких дуг.

Основные свойства : Пусть на комплексной плоскости Z задана кусочно-

гладкая кривая С длиной ?, используя параметрическое задание кривой С

зададим ?(t) и ? (t), где ? и ? являются кусочно-гладкими кривыми от

действительной переменной t. Пусть ? t i.

?? i =? i – ? i-1. Составим интегрируемую функцию S = Sf (?*)?? i . (1)

где ?*– производная точки этой дуги.

Если при стремлении max |?? i |> 0 существует предел частных сумм не

зависящий ни от способа разбиения кривой С на частичные дуги, ни от выбора

точек ? i , то этот предел называется интегралом от функции f (? ) по

кривой С.

[pic] (2)

f (?i* ) = u (Pi*) + iv (Pi*) (3)

где ?? i = ?? (t) + i??(t) (? (t) и ?(t) - действительные числа)

Подставив (3) в (1) получим :

(4)

Очевидно, что (4) состоит из суммы двух частных сумм, криволинейных

интегралов действительной переменной. Переходя в (4) к пределу при ?? и ??

> 0 и предполагая, что данные пределы существуют, получаем :

(5)

Заметим, что для существования криволинейного интегралов, входящих в (5), а

тем самым и для существования интеграла (2) достаточно кусочной

непрерывности функций u и v. Это означает, что (2) существует и в случае

неаналитичности функции f (? ).

Сформулируем некоторые свойства интеграла от функции комплексной

переменной. Из равенства (5) следуют свойства :

О ограниченности интеграла.

При этом z = ? (? ).

7.) Пусть Cp – окружность радиуса ?, с центром в точке Z0. Обход вокруг

контура Cp осуществляется против часовой стрелки. Cp : ? = Z0 + ??ei?, 0

? ? ? 2?, d? = i??ei? d? .

Кусочно-гладкую замкнутую кривую будем называть замкнутым контуром, а

интеграл по замкнутому контуру – контурным интегралом.

ТЕОРЕМА КОШИ.

В качестве положительного обхода контура выберем направление при котором

внутренняя область, ограниченная данным замкнутым контуром остается слева

от направления движения :

Для действительной переменной имеют место формулы Грина. Известно, что если

функции P(x, y) и Q(x, y) являются непрерывными в некоторой заданной

области G, ограниченны кусочно-гладкой кривой С, а их частные производные 1-

го порядка непрерывны в G, то имеет место формула Грина:

( 8 )

ТЕОРЕМА : Пусть в односвязной области G задана аналитическая функция f(Z),

тогда интеграл от этой функции по замкнутому контуру Г целиком лежащему в G

, равен нулю.

Доказательство : из формулы (5) следует:

Т.к. f(? ) аналитическая всюду, то U(x, y), V(x, y) - непрерывны в

области, ограниченной этим контуром и при этом выполняются условия Коши-

Римана. Используя свойство криволинейных интегралов:

Аналогично :

По условию Коши-Римана в последних равенствах скобки равны нулю, а значит и

оба криволинейных интеграла равны нулю. Отсюда :

ТЕОРЕМА 2 (Вторая формулировка теоремы Коши) : Если функция f(?) является

аналитической в односвязной области G, ограниченной кусочно-гладким

контуром C, и непрерывна в замкнутой области G, то интеграл от такой

функции по границе С области G равен нулю.

TEOPEMA 3 (Расширение теоремы Коши на многосвязную область) :

Пусть f (?) является аналитической функцией в многосвязной области G,

ограниченной извне контуром С0, а изнутри контурами С1, С2, .. ,Сn (см.

рис.). Пусть f (?) непрерывна в замкнутой области G, тогда :

, где С – полная граница области G, состоящая из контуров С1, С2, .. , Сn.

Причем обход кривой С осуществляется в положительном направлении.

Неопределенный интеграл.

Следствием формулы Коши является следующее положение : пусть f(Z)

аналитична в односвязной области G, зафиксируем в этой области точку Z0 и

обозначим:

интеграл по какой-либо кривой, целиком лежащей в области G, содержащей Z0

и Z, в силу теории Коши этот интеграл не зависит от выбора кривой

интегрирования и является однозначной функцией Ф(Z). Аналитическая функция

Ф(Z) называется первообразной от функции f(Z) в области G, если в этой

области имеет место равенство : Ф' (Z) = f( Z).

Определение: Совокупность всех первообразных называется неопределенным

интегралом от комплексной функции f(Z). Так же как и в случае с функцией

действительного переменного имеет место равенство :

( 9)

Это аналог формулы Ньютона-Лейбница.

Интеграл Коши. Вывод формулы Коши.

Ранее была сформулирована теорема Коши, которая позволяет установить связь

между значениями аналитической функции во внутренних точках области ее

аналитичности и граничными значениями этой функции.

Пусть функция f(Z) – аналитическая функция в односвязной области G,

ограниченной контуром С. Возьмем внутри этой области произвольную точку Z0

и в области G вокруг этой точки построим замкнутый контур Г. Рассмотрим

вспомогательную функцию ? (Z). Эта функция аналитична в области G всюду,

кроме точки Z=Z0. Проведем контур ? с достаточным радиусом, ограничивающий

точку Z0, тогда функция будет аналитична в некоторой двусвязной области,

заключенной между контурами Г и ?. Согласно теореме Коши имеем :

По свойствам интегралов :

(2 )

Так как левый интеграл в (2) не зависит от выбора контура интегрирования,

то и правый интеграл также не будет зависеть от выбора контура. Выберем в

качестве ? окружность ?? с радиусом ? . Тогда:

(3)

Уравнение окружности ?? : ? = Z0 + ?ei? (4)

Подставив (4) в (3) получим :

( 5 )

( 6 )

(7)

Устремим ??> 0, т.е. ?> 0.

Тогда т.к. функция f(?) аналитична в точке Z=Z0 и всюду в области G, а

следовательно и непрерывна в G, то для всех ?>0 существует ?>0, что для

всех ? из ?–окрестности точки Z0 выполняется | f(?) – f(Z0) | < ?.

(8)

Подставив ( 7) в ( 6) с учетом ( 8) получаем :

Подставляя в ( 5) и выражая f(Z0) имеем :

(9)

Это интеграл Коши.

Интеграл, стоящий в (9) в правой части выражает значение аналитической

функции f(?) в некоторой точке Z0 через ее значение на произвольном контуре

? , лежащем в области аналитичности функции f(?) и содержащем точку Z0

внутри.

Очевидно, что если бы функция f(?) была аналитична и в точках контура С, то

в качестве границы ? в формуле (9) можно было использовать контур С.

Приведенные рассуждения остаются справедливыми и в случае многосвязной

области G.

Следствие : Интеграл Коши, целиком принадлежащий аналитической области G

имеет смысл для любого положения Z0 на комплексной плоскости при условии,

что эта точка есть внутренней точкой области Г. При этом если Z0

принадлежит области с границей Г, то значение интеграла равно (9), а если

т. Z0 принадлежит внешней области, то интеграл равен нулю :

При Z0 ? Г указанный интеграл не существует.

Интегралы, зависящие от параметра.

Рассматривая интеграл Коши, видим, что подинтегральная функция зависит от 2-

х комплексных переменных : переменной интегрирования ? и Z0. Таким образом

интеграл Коши может быть рассмотрен как интеграл, зависящий от параметра, в

качестве которого выбираем точку Z0.

Пусть задана функция двух комплексных переменных ? (Z, ? ), причем Z= x +

iy в точке, принадлежащей некоторой комплексной плоскости G. ?= ?+ i? ?

С. (С - граница G).

Взаимное расположение области и кривой произвольно. Пусть функция ? (Z, ? )

удовлетворяет условиям : 1) Функция для всех значений ? ? С является

аналитической в области G. 2) Функция ? (Z, ? ) и ее производная ??/??

являются непрерывными функциями по совокупности переменных Z и ? при

произвольном изменении области G и переменных на кривой С. Очевидно, что

при сделанных предположениях :

Интеграл существует и является функцией комплексной переменной. Справедлива

формула :

[pic] (2)

Эта формула устанавливает возможность вычисления производной от исходного

интеграла путем дифференцирования подинтегральной функции по параметру.

ТЕОРЕМА. Пусть f(Z) является аналитической функцией в области G и

непрерывной в области G (G включая граничные точки ), тогда во внутренних

точках области G существует производная любого порядка от функции f(Z)

причем для ее вычисления имеет место формула :

(3)

С помощью формулы (3) можно получить производную любого порядка от

аналитической функции f (Z) в любой точке Z области ее аналитичности. Для

доказательства этой теоремы используется формула (2) и соответственные

рассуждения, которые привели к ее выводу.

ТЕОРЕМА МОРЕРА. Пусть f(Z) непрерывна в односвязной области G и интеграл от

этой функции по любому замкнутому контуру, целиком принадлежащему G равен

0. Тогда функция f (Z) является аналитической функцией в области G. Эта

теорема обобщается и на случай многосвязной области G.

Разложение функции комплексного переменного в ряды.

Если функция f(x, y) определена и непрерывна вместе с частными производными

(до n-го порядка ), то существует разложение этой функции в ряд Тейлора :

[pic]

Итак, если задана функция f (z) комплексного переменного, причем f (z)

непрерывная вместе с производными до n-го порядка, то:

[pic] (2) – разложение в ряд Тейлора.

Формула (2) записана для всех Z принадлежащих некоторому кругу | Z-Z0 | ? .

Формулы ЭЙЛЕРА.

Применим разложение (3) положив, что Z = ix и Z= - ix;

[pic]

[pic]

[pic] (6)

Аналогично взяв Z = - ix получим :

[pic] (7)

Из (6) и (7) можно выразить т.н. формулы Эйлера :

[pic] (8)

В общем случае :

[pic] (9)

Известно, что :

[pic] (10)

Тогда из (9) и (10) вытекает связь между тригонометрическими и

гиперболическими косинусами и синусами:

[pic]

Ряд ЛОРАНА.

Пусть функция f(z) является аналитической функцией в некотором круге

радиусом R, тогда ее можно разложить в ряд Тейлора (2). Получим тот же ряд

другим путем.

ТЕОРЕМА 1.

[pic]

Однозначная функция f(Z) аналитическая в круге радиусом |Z-Z0| < R

раскладывается в сходящийся к ней степенной ряд по степеням Z-Z0.

Опишем в круге радиусом R окружность r, принадлежащую кругу с радиусом R.

Возьмем в круге радиуса r точку Z, а на границе области точку ? , тогда

f(z) будет аналитична внутри круга с радиусом r и на его границе.

Выполняется условие для существования интеграла Коши :

[pic]

(13)

[pic] (11)

Поскольку

[pic], то выражение [pic] можно представить как сумму бесконечно убывающей

геометрической прогрессии со знаменателем [pic], т.е. :

[pic][pic]

[pic] (12)

Представим равномерно сходящимся рядом в круге радиуса r, умножая (12) на

1/(2?i) и интегрируя по L при фиксированном Z, получим : слева интеграл

(13) который равен f (Z), а справа будет сумма интегралов :

[pic]

Обозначая [pic], получим : [pic] (14)

Это разложение функции f (Z) в круге R в ряд Тейлора. Сравнивая (14) с

рядом (2) находим, что [pic]

(15)

ТЕОРЕМА 2.

Если однозначная функция f(Z) аналитична вне круга с радиусом r с центром в

точке Z0 для всех Z выполняется неравенство r < |Z-Z0 |, то она

представляется рядом :

[pic]

(16)

где h - ориентированная против часовой стрелки окружность радиуса r (сколь

угодно большое число). Если обозначить [pic] (17) , получим :

[pic] (18)

ТЕОРЕМА 3.

Если однозначная функция f(Z) аналитическая в кольце Z< |Z-Z0 | m+1 C-n=0, тогда Z=Z0 будет являться полюсом порядка m.

При m>1 такой полюс будет называться простым.

[pic], если m > ? , то в этом случае в точке Z=Z0 имеем существенную

особенность.

Определение 2. Вычетом функции f(Z) в круге |Z-Z0|

изолированную особую точку Z=Z0 называется интеграл : [pic] , где L –

ориентированный против часовой стрелки контур целиком расположенный в круге

радиуса R, содержащем Z0. Вычет существует только для изолированных особых

точек. Очевидно, что вычет функции f(z) при Z=Z0 равен первому коэффициенту

ряда главной части Лорана : [pic]

Если полюс имеет кратность m ? 1, то для определения вычетов используется

формула :

[pic] (3)

при m=1 :

[pic]

Основная теорема о вычетах.

Пусть f(z) аналитическая в области G кроме конечного числа полюсов Z = a1,

a2, …, ak. ? –произвольный, кусочно-гладкий замкнутый контур содержащий

внутри себя эти точки и целиком лежащий внутри области G. В этом случае

интеграл [pic]равен сумме вычетов относительно a1, a2, …, ak и т.д.

умноженный на 2?i :

[pic] (5)

Пример :

Найти вычет [pic]

Особые точки : Z1=1, Z2= - 3.

Определим порядок полюсов – все полюсы первого порядка.

Используем формулу (3) :

[pic]

[pic]

-----------------------

[pic]?–??/?????†???????????"???–??/?????†???????????"???–??/?????†??????????

?"???–??/?????†???????????"???–??/?????†???????????"???–??/?????†???????????

"???–??/?????†???????????"???–??/?????†?????????????–??/?????†???????????"??

?–??/????

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]