НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Hpor

Hpor

|Билет№1 |Билет №2 | |

|1)Функция y=F(x) |1)Точка Х0 наз-ся |Билет №3 |

|называется |точкой максимума |1)арксинусом числа а |

|периодической, если |функции f, если для |называется число, для|

|существует такое |всех х из некоторой |которого выполнены |

|число Т, не равное |окрестности точки х0 |следующие два |

|нулю, что для любых |выполнено неравенство|условия: 1)-p/2 1, a arcsin|

|любые числа вида |окрестности х0 |a определён при –1 0. |y= sin x (период |Пусть Ф и F- |

|Свойства степеней с |функции равен 2пи n) |первообразные функции|

|рациональным |решение ур-ия можно |f на промежутке I. |

|показателем Для любых|записать так: |Покажем, что разность|

|рациональных чисел r |х=arcsin a +2пи n |Ф-F равна постоянной.|

|иs и любых |x=пи- arcsin a +2пи n|Имеем (Ф(x) – F(x))’|

|положительных a и b | |= Ф’(x) – |

|справедливы следующие|решение данного ур-ия|F'(x)=f(x)-f(x)=0, |

|свойства. 1) |можно записать в виде|следовательно, по |

|Произведение степеней|следующей формулы |признаку постоянства |

|с одинаковыми |x=(-1)^n arcsin a + |функции на интервале |

|основаниями равно |пи n |Ф(x)-F(x)=C. Значит |

|степени с тем же |при четных n(n=2k) мы|любую первообразную |

|основанием и |получим все решения, |можно записать в виде|

|показателем, равным |записанные первой |F(x)+C. Графики любых|

|сумме показателей |формулой , а при |двух первообразных |

|множителей: a^r * a^s|нечетных n(n=2k+1)- |для функции y=f(x) |

|= a^r+s. |все решения |получаются друг из |

|2) Частное степеней с|записанные второй |друга параллельным |

|одинаковыми |формулой. |переносом вдоль оси |

|основаниями равно | |Ox (рис. 18) |

|степени с тем же | | |

|основанием и | | |

|показателем, равным | | |

|разности показателей | | |

|делимого и делителя: | | |

|a^r : a^s = a^r-s. | | |

|3) При возведении | | |

|степени в степень | | |

|основание оставляют | | |

|прежним, а показатели| | |

|перемножают: (a^r)^s | | |

|= a^rs 4) Степень | | |

|произведения равна | | |

|произведению | | |

|степеней: (ab)^r = | | |

|a^r * b^r. 5) | | |

|Степень частного | | |

|равна частному | | |

|степеней (a/b)^r = | | |

|a^r / b^r. 6) Пусть| | |

|r рациональное число | | |

|и число a больше | | |

|нуля, но меньше числа| | |

|b, 0 b^r, если | | |

|r-отрицательное | | |

|число.7) Для любых | | |

|рациональных чисел r | | |

|и s из неравенства | | |

|r1 ; a^r > | | |

|a^s при 00. Имеем:| | |

|nSQRa^m : qSQRa^p = | | |

|nqSQRa^mq : nqSQRa^pn| | |

|= nqSQRa^mq / | | |

|nqSQRa^pn Используя | | |

|свойство частного | | |

|корней, получим: | | |

|nqSQRa^mq / nqSQRa^pn| | |

|= nqSQRa^mq / a^pn = | | |

|nqSQRa^mq-pn. | | |

|Применим определение | | |

|степени с | | |

|рациональным | | |

|показателем: | | |

|nqSQRa^mq-pn = | | |

|a^mq-pn/nq = | | |

|a^mq/nq-pn/nq = | | |

|a^m/n-p/q = a^r-s. | | |

|Билет №4 |Билет№ 5 |Билет №6 |

|1)Арккосинусом числа |1)На интервале |1)Пусть на некотором |

|а называется такое |(-Пи/2;Пи/2) функция |промежутке задана |

|число, для которого |тангенс возрастает и |функция y=f(x); x0 – |

|выполнены следующие |принимает все |точка этого |

|два условия: 1) |значения из R. |промежутка; ?x – |

|0 1; |Арктангенсом числа а |приращения аргумента |

|arccos a определён |называется такое |к нулю называется |

|при |a|Б=1 |число из интервала |производной функции в|

|2)Показательной |(-Пи/2;Пи/2) тангенс |точке. Пусть |

|функцией называется |которого равен а. |материальная точка |

|функция вида y=a^x, |Пример arctg1=Пи/4, |движется по |

|где а- заданное |так как tgПи/4=1 и |координатной прямой |

|число, а >0, a не |Пи/4((-Пи/2;Пи/2); |по закону x=x(t), |

|равно 1. Свойства |arctg(-SQR3)=-Пи/3, |т.е. координата этой |

|показательной функции|так как |точки x- известная |

|1) Областью |tg(-Пи/4)=-SQR3 и |функция времени t. |

|определения |–Пи/3((-Пи/2;Пи/2). |Механический смысл |

|показательной функции|2)Логарифмической |производной состоит в|

|являются все |функцией называется |том, что производная |

|действительные числа.|функция вида y = loga|от координаты по |

|Это следует из того, |x, где а -заданное |времени есть |

|что для любого x |число, a>0, a не рано|скорость: v(t) = |

|принадлежащего R |1. Свойства |x’(t). |

|определено значение |логарифмической |2)1) Если |a|>1, то |

|степени a^x (при |функции 1) Областью |уравнение cos x = a |

|a>0). 2) Множеством |определения |решений не имеет, так|

|значений |логарифмической |как |cos x|0 2) |имеет один корень |

|области определения, |Множеством значений |x=arccos a. |

|если a>1. б) |логарифмической |Учитывается, что |

|Показательная функция|функции являются все |функция y=cos x – |

|Y=a^x убывает на всей|действительные числа.|периодическая с |

|области определения, |Пусть y0 – |периодом 2Пиn, |

|если 01, то |действительное число.|уравнения cosx=a на |

|большему значению |Покажем, что найдётся|промежутке [2Пиn; |

|аргумента (x2>x1) |такое положительное |Пи+2Пиn], n |

|соответствует большее|значение аргумента |принадлежит Z, в виде|

|значение функции |x0, что выполняется |x = arccos a+ 2Пиn, |

|(a^x2 > a^x1). Из |равенство y0 = |где n принадлежит Z. |

|свойств степени |logax0. По |Б) На промежутке |

|известно, если r>s и |определению логарифма|[-Пи; 0] функция y |

|a>1, то a^r >a^s. |числа имеем: x0 = |=cosx возрастает, |

|Пусть х2 > x1 и a > |a^y0, a^y0 > 0. Мы |следовательно, |

|1, тогда a^x2 >a^x1 |показали, что нашлось|уравнение cosx=a |

|(по свойству |значение x0 > 0, при |имеет один корень, а |

|степени). А это |котором значение |именно,x=-arccos a. |

|означает, что функция|логарифмической |Учитывая |

|y=a^x1 при a>1 |функции равно у0 (у0 |периодичность функции|

|возрастает на всей |– произвольное |y= cos. Делаем вывод,|

|области определения. |действительное |что решением |

|Докажем, что если 0 x1) соответствует|нуль при х=1. Решим |n принадлежит Z, |

|меньшее значение |уравнение logax=0. По|являются числа вида |

|функции (a^x2 < |определению логарифма|x=-arccos a + 2 Пиn, |

|a^x1). Из свойств |получаем: a^0 = x, |где n принадлежит Z. |

|степени известно, |т.е. x = 1. 4) а) |Таким образом, все |

|если r>s и 0x1 |функция y=loga x |могут быть записаны |

|и 01.Докажем, что|принадлежит Z. |

|означает, что функция|большему значению | |

|y=a^x при 0 х1) | |

|убывает на всей |соответствует большее| |

|области определения. |значение функции | |

|4) Нет таких значений|(loga x2 > loga x1), | |

|аргумента, при |если a>1. Пусть x2 > | |

|которых значения |x1 > 0; тогда | |

|показательной функции|используя основное | |

|равны нулю, т.е. у |логарифмическое | |

|показательной функции|тождество, запишем | |

|нет нулей. |это неравенство в | |

|5)Показательная |виде a^logax2 > | |

|функция непрерывна на|a^logax1 . (1) В | |

|всей области |неравенстве (1) | |

|определения. 6) |сравниваются два | |

|Показательная функция|значения | |

|дифференцируема в |показательной | |

|каждой точки области |функции. Поскольку | |

|определения, |при a>1 показательная| |

|производная |функция возрастает, | |

|вычисляется по |большее значение | |

|формуле (a^x)’ = a^x |функции может быть | |

|ln a. (график на |только при большем | |

|рисунке 29) |значении аргумента, | |

| |т.е. logax2 > logax1.| |

| |б)Логарифмическая | |

| |функция y=logax | |

| |убывает на всей | |

| |области определения, | |

| |если 01 принимает | |

| |положительные | |

| |значения, если x>1; | |

| |отрицательные | |

| |значения, если 01. | |

| |Пусть a>1, тогда | |

| |функция y=logax | |

| |возрастает на всей | |

| |области определения | |

| |(рис. 31); причём | |

| |loga1=0. Из этого | |

| |следует, что: для x>1| |

| |logax > loga1, т.е. | |

| |logax>0; для 01 logax < | |

| |loga1, т.е. logax < | |

| |0; для 0| |

| |loga1, т.е. logax > | |

| |0. 6) Логарифмическая| |

| |функция непрерывна на| |

| |всей области | |

| |определения. | |

|Билет № 7 |Билет №8 |Билет №9 |

|1)Пусть на некотором |1) Пусть ф-ция f(x) |1. Все рациональные и|

|промежутке задана |задана на некотором |дробно-рациональные |

|функция y=f(x); |промежутке, а –точка |ф-ции непрерывны на |

|x0-точка этого |этого промежутка. |всей области |

|промежутка; |Если для ф-ции |определения. Этот |

|?x-приращение |выполняется |факт следует из того |

|аргумента х; точка |приближенное |что рациональные и |

|х0+ ?x принадлежит |равенство f(x) ?f(a) |дробно-рациональные |

|этому промежутку; | |ф-ции дефференцируемы|

|?y-приращение |с любой , наперед |во всех точках своих |

|функции. Предел |заданной точностью, |областей опр-ия. |

|отношения (если он |для всех х , близки х|Например: ф-ция |

|существует) |к а , то говорят , |f(x)=x^3-7X^2+24x |

|приращения функции к |что ф-ция непрерывна |непрерывна на |

|приращению аргумента |в точке а. Иными |множестве |

|при стремлении |словами ф-ция f |действительных чисел;|

|приращения аргумента |непрерывна в точке а |а ф-ция |

|к нулю называется |, если f(x) >f(a) при|g(x)=(x^3+8)/(x-2) |

|производной функции в|х >а. |непрерывна на |

|точке. Пусть задана |Ф-ция непрерывная в |промежутке (-(:2) и |

|дифференцируемая |каждой точке |на промежутке (2;+ ()|

|функция y=f(x) |промежутка наз-ся | |

|(рис.36). |непрерывной на |2. Логарифмом числа b|

|Геометрический смысл |промежутке. |наз-ся показатель |

|производной состоит в|Гр. непрерывной на |степени в к-рую нужно|

|том, что значение |промежутке ф-ции |возвести основание а |

|производной функции в|представляет собой |чтобы получить число |

|точке x0 равно |непрерывную линию. |b. |

|угловому коэффициенту|Иными словами гр. |Из опр-ия имеем: a^ |

|касательной, |можно нарисовать не |logab =b (осн-ое |

|проведённой к графику|отрывая карандаша от |лог-ое тождесто) |

|функции в точке с |бумаги. |Св-ва логарифмов: |

|абсциссой x0: |Например ф-ция |При любом а>0(а(1), |

|f’(x0)=R, где |f(x)=3^x непрерывна в|и любых пол-ных х и у|

|R-угловой коэффициент|точке |выполняются следующие|

|касательной. |х0=2.Действаительно |св-ва: |

|2)1) На промежутке |3^x >3^2, при х>2. |loga1=0 |

|(-Пи.2 ; Пи.2) |Ф-ция f(x)=3^x |logaа=1 |

|функция y=tgx |непрерывна на |loga(ху)= logaХ+ |

|возрастает, значит, |множестве всех |logaУ |

|на этом промежутке, |действительных чисел |Док-во: Воспользуемся|

|по теореме о корне, |, а ее график можно |осн-ным лог-им |

|уравнение tgx=a имеет|нарисовать не отрывая|тождеством |

|один корень, а |карандаша от бумаги. |a ^ logab =b и св-ом |

|именно, x=arctg a |2) Арифметическим |показат-ной ф-ции |

|(рис 37). 2) |корнем n-ой степени |а^ х+у =а^x * а^y |

|Учитывая, что период |из числа а наз-ся |имеем |

|тангенса равен Пиn, |неотрицательное число|а^ loga(xy)=xy= a^ |

|все решения |n-ая степень к-рого |logax *a^ logay =a |

|определяются формулой|равна а. |^logax +logay |

|x=arctg a + Пиn, |Св-ва корней: Для |loga(Х/У)= logaХ- |

|nпринадлежит Z. |любых натуральных n, |logaУ |

| |целого k и любых |logaХ^Р= рlogaХ |

| |неотрицательных чисел|Формула перехода: |

| |a и b выполняются |logaХ= logbX/ logbA |

| |следующие св-ва: | |

| |N sqr ab= n sqr a * n| |

| |sqr b | |

| |n sqr (a/b)= (n sqr | |

| |a)/( n sqr b) b ?0 | |

| |n sqr (k sqr a)= kn | |

| |sqr (a), k> 0 | |

| |n sqr (a) = kn sqr | |

| |(a^k) ,k>0 | |

| |n sqr (a^k)=( n sqr | |

| |a)^k (ели k?0,то а?0)| |

| | | |

| |Для любых | |

| |неотрицательных чисел| |

| |а и b таких, что а |–1 integral |является чётной, т.е.|предел отношения при |

|(a;b) f(x) dx при n> |для любого x ? R |?x(0Разность |

|? |выполняется равенство|S(x+?x)-S(x) равна |

|2)Если каждому |cos(-x)=cosx. Пусть |площади криволинейной|

|действительному числу|точка Рх получина при|трапеции с основанием|

|поставлен в |повороте точки Ро на |(x; x+?x( |

|соответствие его |х радиан, а точка |Если ?x(0 то эта |

|синус, то говорят, |Р-хполучина при |площадь |

|что задана функция |повороте точки Р0 на |приблизительно равна |

|синус (обозначение |–х радиан(рис46). |площади |

|y=sin x). Свойства |Треугольник ОрхР-х |прямоугольника f(x)* |

|функции синус 1) |является |?x т.е. |

|Область определения |равнобедренным; ON – |S(x+?x)-S(x) (f(x) * |

|функции синус |биссектриса угла |?x |

|является множество |РхР-х, значит, |Имеем |

|всех действительных |является и высокой, |S(x+?x)-S(x)/ ?x |

|чисел, т.е. D(y)=R. |проведённой к стороне|(f(x) |

|Каждому |РхР-х. Из этого |При ?x(0. Этим |

|действительному числу|следует, что точки Рх|показано что |

|х соответствует |и Р-х имеют одну и ту|S((x)=f(x) |

|единственная точка |же абсциссу ON, т.е. |3)Равенство S((x) |

|единичной окружности |cos(-x)=cosx. |=f(x) означает что S-|

|Px, получаемая |4)Функция косинус |первообразная |

|поворотом точки |является |функцииf на заданном |

|P0(1;0) на угол, |периодической с |промежутке. |

|равный х радиан. |периодом 2ПиR, где |3)По основному св-ву |

|Точка Рх имеет |R-целое, кроме 0. |первообразной имеем |

|ординату, равную |Наименьшим |F(x)=S(x)+C, где F- |

|sinx. Следовательно, |положительным |какая-либо |

|для любого х |периодом косинуса |первообразная для f. |

|определено значение |являеися число 2Пи. |При x=a получим ,что |

|функции синус. 2) |Каждому | |

|Множеством значений |действительному числу|F(a)=S(a)+C т.е. |

|функции синус |вида x+2ПиR, где |C=F(a). |

|является промежуток |R?Z,соответствует |При x=b имеем |

|[-1;1], т.е. |единственная точка |F(b)=S(b)+F(a) |

|E(y)=[-1;1]. Это |единичной окружности |Следовательно |

|следует из |Рх+2ПиR, получаемая |S=S(b)=F(b)-F(a) |

|определения синуса: |поворотом точки Р0 | |

|ордината любой точки |(1;0) на угол | |

|единичной окружности |(x+2ПиR) радиан. | |

|удовлетворяет условию|Точка Рх+2ПиR имеет | |

|–1 x1. | | |

|Сравним два значения | | |

|функции: sinx2 – | | |

|sinx1 = 2cos x1+x2/2 | | |

|* sin x2-x1/2; 0< | | |

|x2-x1/2 | | |

|0, cos x1+x2/2>0. | | |

|Таким образом, | | |

|sinx2-sinx1>0, | | |

|значит, большему | | |

|значению аргумента | | |

|соответствует большее| | |

|значение функции, | | |

|т.е. функция синус | | |

|возрастает на | | |

|промежутке [-Пи/2; | | |

|Пи/2]. В силу | | |

|периодичности синуса | | |

|можно утверждать, что| | |

|синус возрастает на | | |

|промежутках [-Пи/2 + | | |

|2ПиR; Пи/2 + 2ПиR], | | |

|где R принадлежит Z. | | |

|8) Функция синус | | |

|имеет максимумы , | | |

|равные 1, в точках | | |

|Пи/2 + 2ПиR, где где | | |

|R принадлежит Z. | | |

|Функция Синус имеет | | |

|минимумы, равные –1, | | |

|в точках 3Пи/2 + | | |

|2ПиR, где R | | |

|принадлежит Z. | | |

|Покажем, что точка | | |

|х0=Пи/2 является | | |

|точкой максимума. | | |

|Функция синус | | |

|возрастает на | | |

|промежутке [-Пи/2; | | |

|Пи/2], т.е. | | |

|sinx1 |

| | |1)D(f)=[0;+(], если а|

| | |не является |

| | |натуральным числом. |

| | |Это следует из |

| | |определения степени с|

| | |рациональным |

| | |показателем. Если а |

| | |натуральное число, то|

| | |D(f)=(-(;+() по |

| | |определению степени с|

| | |натуральным |

| | |показателем. |

| | |2)E(f)=[0;+() для |

| | |всех а>1, кроме а= |

| | |2R+1. Где R(N. Это |

| | |следует из |

| | |определения степени с|

| | |рациональным |

| | |показателем. |

| | |E(f)=(-(;+() для |

| | |нечётных а,т.е. |

| | |а=2R+1, где R(N. |

| | |3)Если а-чётное |

| | |натуральное число, то|

| | |данная функция |

| | |является чётной. Т.к.|

| | |f(-x)=(-x)^2R = |

| | |((-x)^2)^R= (x^2)^R =|

| | |x^2R = f(x). Если |

| | |а-нечётное |

| | |натуральное число. то|

| | |данная функция |

| | |является нечётной, |

| | |так как |

| | |f(-x)=(-x)^2R+1 + |

| | |(-x)^2R (-x)= x^2R * |

| | |(-x)=-x^2R * x+ |

| | |-x^2R+1 + -f(x). |

| | |4)При х=0 функция |

| | |f(x)=0, так как 0^a =|

| | |0 при а>0. 5)При x>0 |

| | |функция f(x)>0. Это |

| | |следует из |

| | |определения степени с|

| | |рациональным |

| | |показателем. При |

| | |нечётных а(а=2R+1, |

| | |R(N), если х0, |

| | |но x1. Из |

| | |свойства степени с |

| | |рациональным |

| | |показателем |

| | |(r-рациональное число|

| | |и 00) |

| | |следует, что |

| | |x1^a0.Возьмем два |

|перемещение точки по | |знацения аргумента x1|

|прямой. Чтобы найти | |и x2,принадлежащие |

|скорость движения v, | |этому интегралу, |

|нужно определить | |причём х10 |

|v(2)=4*2-3=5 (м/с). | |(по условию), значит,|

|2. Таблица | |f’(c)*(x2-x1)>0, т.е.|

|первообразных | |разность значению |

|элементарных ф-ий. | |аргумента |

| | |соответствует большее|

| | |значение ф-ии, т.е. |

| | |ф-ия |

| | |y=f(x) является |

| | |возрастающей. |

| | |Аналогично |

| | |показывается |

| | |достаточное условия |

| | |ф-ии. |

|Ф-ия |y=x^n|y=si|y=|

| |, n(1|n x |co|

| | | |s |

| | | |x |

|Общий|(x^(n|-cos|Si|

|вид |+1))/|x+C |n |

|перво|(n+1)| |x+|

|образ|+C | |C |

|ных | | | |

|Ф-ия |y=e^x|y=a^|Y=|

| | |x |1/|

| | | |x |

|Общий|e^x+C|(a)/|ln|

|вид | |ln |x |

|перво| |a+C |+C|

|образ| | | |

|ных | | | |