НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Дзета-функция Римана

Дзета-функция Римана

Министерство образования Российской Федерации

Ставропольский Государственный университет

Кафедра математического анализа

Курсовая работа на тему :

«Дзета-функция Римана»

Выполнил: студент 2го курса ФМФ

группы «Б» Симонян Сергей

Олегович

Ставрополь, 2004 г.

Введение.

Функция – одно из основных понятий во всех естественнонаучных

дисциплинах. Не случайно ещё в средней школе дети получают интуитивное

представление об этом понятии. Со школьной скамьи наш багаж знаний

пополняется сведениями о таких функциях как линейная, квадратичная,

степенная, показательная, тригонометрические и других. В курсе высшей

математики круг известных функций значительно расширяется. Сюда добавляются

интегральные и гиперболические функции, эйлеровы интегралы (гамма- и бета-

функции), тета-функции, функции Якоби и многие другие.

Что же такое функция? Строгого определения для неё не существует. Это

понятие является в математике первичным, аксиоматизируется. Однако, под

функцией понимают закон, правило, по которому каждому элементу какого-то

множества X ставится в соответствие один или несколько элементов множества

Y. Элементы множества X называются аргументами, а множества Y – значениями

функции. Если каждому аргументу соответствует одно значение, функция

называется однозначной, если более одного – то многозначной. Синонимом

функции является термин «отображение». В простейшем случае множество X

может быть подмножеством поля действительных R или комплексных C чисел.

Тогда функция называется числовой. Нам будут встречаться только такие

отображения.

Функции могут быть заданы многими различными способами: словесным,

графическим, с помощью формулы. Функция, которую мы будем рассматривать в

этой работе, задаётся через бесконечный ряд. Но, несмотря на такое

нестандартное определение, по своему представлению в виде ряда она может

быть хорошо изучена методами теории рядов и плодотворно применена к

различным теоретическим и прикладным вопросам математики и смежных с ней

наук.

Конечно же, речь идёт о знаменитой дзета-функции Римана, имеющей

широчайшие применения в теории чисел. Впервые ввёл её в науку великий

швейцарский математик и механик Леонард Эйлер и получил многие её свойства.

Далее активно занимался изучением дзета-функции немецкий математик Бернгард

Риман. В честь него она получила своё название, так как он опубликовал

несколько исключительно выдающихся работ, посвящённых этой функции. В них

он распространил дзета-функцию на область комплексных чисел, нашёл её

аналитическое продолжение, исследовал количество простых чисел, меньших

заданного числа, дал точную формулу для нахождения этого числа с участием

функции [pic] и высказал свою гипотезу о нулях дзета-функции, над

доказательством или опровержением которой безрезультатно бьются лучшие умы

человечества уже почти 150 лет.

Научная общественность считала и считает решение этой проблемы одной

из приоритетных задач. Так Давид Гильберт, выступавший на Международной

Парижской математической конференции 1900 году с подведением итогов

развития науки и рассмотрением планов на будущее, включил гипотезу Римана в

список 23 проблем, подлежащих решению в новом столетии и способных

продвинуть науку далеко вперёд. А на рубеже веков, в 2000 году американский

The Clay Mathematics Institute назвал семь задач, за решение каждой из

которых будет выплачен 1 миллион долларов. В их число также попала гипотеза

Римана.

Таким образом, даже бы поверхностное знакомство с дзета-функцией будет

и интересным, и полезным.

Глава 1.

Итак, приступим к изучению этой важной и интересной дзета-функции

Римана. В данной главе мы получим некоторые свойства функции в вещественной

области, исходя из её определения с помощью ряда.

Определение. Дзета-функцией Римана ?(s) называют функцию, которая

любому действительному числу s ставит в соответствие сумму ряда

[pic]

(1)

если она существует.

Основной характеристикой любой функции является область определения.

Найдём её для нашей функции.

Пусть сначала s?0, тогда s=-t, где t принадлежит множеству

неотрицательных действительных чисел R+[pic]{0}. В этом случае [pic] и ряд

(1) обращается в ряд [pic], который, очевидно, расходится как при t>0, так

и при t=0. То есть значения s?0 не входят в область определения функции.

Теперь пусть s>0. Для исследования сходимости ряда (1) воспользуемся

интегральным признаком Коши. При каждом s рассмотрим функцию [pic], где

[pic], которая является на промежутке непрерывной, положительной и

монотонно убывающей. Возникает три различных возможности:

1) 01. В этом случае [pic]

[pic]. Ряд (1) сходится.

Обобщив результаты, находим, что область определения дзета-функции

есть промежуток [pic]. На этом промежутке функция оказывается непрерывной и

дифференцируемой бесконечное число раз.

Докажем непрерывность функции ?(s) на области определения. Возьмём

произвольное число s0>1. Перепишем ряд (1) в виде [pic]. Как было выше

показано, ряд [pic] сходится, а функции [pic] при s>s0 монотонно убывают и

все вместе ограничены единицей. Значит, по признаку Абеля для s>s0 ряд (1)

сходится равномерно. Используя теорему о непрерывности суммы

функционального ряда, получаем, что в любой точке s>s0 дзета-функция

непрерывна. Ввиду произвольности s0 ?(s) непрерывна на всей области

определения.

Теперь почленным дифференцированием ряда (1), пока формально, найдём

производную дзета-функции Римана:

[pic]

(2).

Чтобы оправдать этот результат, достаточно удостовериться в том, что ряд

(2) равномерно сходится на промежутке [pic] и воспользоваться теоремой о

дифференцировании рядов. Используем тот же приём. Зафиксируем любое s0>1 и

представим ряд (2) в виде [pic] для s>s0. Множители [pic], начиная с n=2,

монотонно убывают, оставаясь ограниченными числом ln 2. Поэтому по признаку

Абеля ряд (2) сходится равномерно при s>s0, а значит и при любом s>1. Какое

бы значение s>1 ни взять его можно заключить между [pic] и [pic], где

[pic], а [pic]; к промежутку [pic] применима вышеуказанная теорема.

Таким же путём можно убедиться в существовании для дзета-функции

производных всех порядков и получить их выражения в виде рядов:

[pic].

Попытаемся построить наглядное изображение функции в виде графика. Для

этого изучим сначала её поведение на бесконечности и в окрестности точки

s=1.

В первом случае, ввиду равномерной сходимости ряда (1), по теореме о

почленном переходе к пределу, имеем [pic]. При n=1 предел равен единице,

остальные пределы равны нулю. Поэтому [pic].

Чтобы исследовать случай [pic], докажем некоторые вспомогательные

оценки.

Во-первых, известно, что если для ряда [pic] существует непрерывная,

положительная, монотонно убывающая функция [pic], определённая на множестве

[pic], такая, что [pic], и имеет первообразную [pic], то остаток ряда

оценивается так: [pic], где [pic]. Применяя вышесказанное к ряду

(1), найдём, что необходимая функция

[pic], а [pic] и [pic]. Отсюда, подставляя в двойное неравенство, имеем

[pic] (3).

В левом неравенстве положим n=0, тогда [pic], то есть [pic]. В правом же

возьмём n=1 и получим [pic], далее [pic], [pic] и, наконец, [pic]. Переходя

в неравенствах [pic] к пределу при [pic], находим [pic].

Отсюда, в частности, следует, что [pic]. Действительно, положим [pic].

Тогда [pic], то есть [pic] [pic]. Поэтому [pic]. Из того, что [pic], а

[pic], вытекает доказываемое утверждение.

Можно, однако, получить ещё более точный результат для оценки

поведения дзета-функции в окрестности единицы, чем приведённые выше,

принадлежащий Дирихле. Будем отталкиваться от очевидного при произвольном n

равенства [pic]. Прибавим ко всем частям неравенств (3) сумму [pic] и

вычтем [pic]. Имеем [pic]. Пусть здесь s стремится к единице. По правилу

Лопиталя легко вычислить [pic] и [pic]. Мы пока не знаем, существует ли

предел выражения [pic] при [pic], поэтому, воспользовавшись наибольшим и

наименьшим пределами, напишем неравенства так: [pic]

[pic]. Ввиду произвольности n возьмём [pic]. Первое и последнее выражения

стремятся к эйлеровой постоянной C (C[pic]0,577). Значит [pic], а,

следовательно, существует и обычный предел и [pic].

Найденные выше пределы позволяют получить лишь приблизительное

представление о виде графика дзета-функции. Сейчас мы выведем формулу,

которая даст возможность нанести на координатную плоскость конкретные

точки, а именно, определим значения [pic], где k – натуральное число.

Возьмём известное разложение [pic], где [pic] - знаменитые числа

Бернулли (по сути, через него эти числа и определяются). Перенесём

слагаемое [pic] в левую часть равенства. Слева получаем [pic]

[pic]cth[pic], а в правой части - [pic], то есть [pic]cth[pic]. Заменяем

[pic] на [pic], получаем [pic]cth[pic].

С другой стороны, существует равенство cth[pic], из которого

[pic]cth[pic]. Подстановкой [pic] вместо [pic] находим [pic]cth[pic] [pic].

Если [pic], то для любого [pic]N [pic] [pic] и по теореме о сложении

бесконечного множества степенных рядов [pic]cth[pic] [pic].

Приравняем полученные разложения: [pic]

[pic], следовательно [pic]. Отсюда немедленно следует искомая формула

[pic]

(4), где [pic] - k-е число Бернулли. Она удобна тем,

что эти числа хорошо изучены и для них составлены обширные таблицы.

Теперь, исходя из полученных результатов, можно построить эскиз

графика дзета-функции Римана, достаточно хорошо отражающий её поведение на

всей области определения.

[pic]

Леонард Эйлер, впервые рассмотревший дзета-функцию, получил

замечательное разложение её в бесконечное произведение, которое иногда тоже

принимают за определение:

[pic], где pi – i-е простое число

(4).

Докажем тождественность ряда (1) и произведения (4). Вспомнив формулу

суммы геометрической прогрессии, получаем равенство [pic]

[pic] Если перемножить конечное число таких рядов, отвечающих всем простым

числам, не превосходящим заданного натурального числа N, то получившееся

частичное произведение окажется равным [pic], где символ *

означает, что суммирование распространяется не на все натуральные

числа, а лишь на те из них (не считая единицы), которые в своём разложении

содержат только простые числа меньшие N. Так как первые N натуральных чисел

этим свойством обладают, то

[pic]

(5).

Сумма [pic] содержит не все числа, большие N+1, поэтому, очевидно, [pic].

Из (5) получаем

[pic]

(6).

Ввиду сходимости ряда (1), выражение справа, представляющее его остаток

после N-го члена, стремится к нулю при N стремящимся к бесконечности, а

[pic] есть произведение (4). Значит из неравенства при [pic] [pic], что и

требовалось доказать.

Формула (4) важна потому, что она связывает натуральный ряд,

представленный множеством значений аргумента дзета-функции, со множеством

простых чисел. Ещё один шаг в этом направлении мы сделаем, оценив [pic], а

именно показав, что [pic], где [pic] остаётся ограниченным при [pic].

Из (4) следует, что [pic], где [pic]N, а [pic] при [pic]. Возьмём

логарифм от обеих частей равенства, тогда [pic] [pic]. Натуральные

логарифмы под знаком суммы разлагаются в ряд: [pic] [pic]. Подставив

полученные разложения в равенство и устремив N к бесконечности, имеем

[pic]. Остаётся доказать ограниченность последнего слагаемого. Ясно, что

[pic]. Последнее равенство справедливо, так как [pic] [pic]. Далее,

очевидно, [pic], что и завершает доказательство.

На этом закончим изложение свойств дзета-функции Римана для

действительного аргумента, так как наибольший теоретический и прикладной

интерес представляет случай изложенный во второй главе.

Глава 2.

Все результаты первой главы, касающиеся дзета-функции Римана, были

получены в предположении, что её аргумент s – действительное число. Однако,

самые выдающиеся исследования и многочисленные важные приложения стали

возможны лишь после включения в область определения функции комплексных

чисел. Впервые рассмотрел дзета-функцию как функцию мнимого аргумента

немецкий математик Бернгард Риман, глубоко изучивший её свойства и широко

применявший её в теории чисел. В честь него функция получила своё название.

Для комплексной дзета-функции остаётся в силе определение, данное в

главе 1, с тем лишь изменением, что теперь там будет [pic]C. Возникает

необходимость найти новую область определения. С этой целью докажем

следующее утверждение: в полуплоскости [pic] ([pic] действительная часть

числа x) ряд

[pic]

(1) сходится абсолютно.

Пусть [pic]. Подсчитаем абсолютные величины членов ряда (1), [pic].

Первый множитель содержит только вещественные числа и [pic], так как [pic].

Ко второму же множителю применим знаменитую формулу Эйлера, получим

[pic][pic]. Значит, [pic]. Ввиду сходимости ряда [pic] при ?>1, имеем

абсолютную сходимость ряда (1).

На своей области определения дзета-функция аналитична. Действительно,

при всяком q>0 и фиксированном ?>1+q, числовой ряд [pic] мажорирует ряд из

абсолютных величин [pic], где [pic], откуда, по теореме Вейерштрасса,

следует равномерная сходимость ряда в полуплоскости [pic]. Сумма же

равномерно сходящегося ряда из аналитических функций сама является

аналитической функцией.

Нетрудно показать, что все полученные для дзета-функции формулы без

изменений переносятся на случай комплексного аргумента. Доказательства

претерпевают незначительные преобразования, связанные с переходом к

абсолютным величинам.

В связи с этим замечанием становится возможным использовать разложение

дзета-функции в произведение [pic], где s теперь любое комплексное число,

такое, что [pic]. Применим его к доказательству отсутствия у функции [pic]

корней.

Оценим величину [pic], используя свойство модуля [pic]: [pic], где как

обычно [pic]. Так как [pic], то [pic], а [pic], следовательно, дзета-

функция в нуль не обращается.

Вопрос о нулях дзета-функции, а также другие прикладные вопросы

получают новые широкие возможности для исследования, если распространить её

на всю комплексную плоскость. Поэтому, сейчас мы одним из многих возможных

способов найдём аналитическое продолжение дзета-функции и выведем её

функциональное уравнение, характеризующее и однозначно определяющее [pic].

Для этого нам понадобится формула

[pic] (2), которая выводится следующим образом. Используя свойства

интегралов можно записать [pic]. Для любого d при [pic] [pic], значит

[pic] и [pic], а [pic]. [pic]. Следовательно, [pic] [pic] [pic][pic][pic].

Интеграл [pic] можно найти интегрированием по частям, принимая [pic],

[pic]; тогда [pic], а [pic]. В результате [pic] [pic]. Вычтем из этого

интеграла предыдущий и получим [pic], отсюда легко следует равенство (2).

Теперь положим в (2) [pic], [pic], a и b – целые положительные числа.

Тогда [pic] [pic]. Пусть сначала [pic], примем a=1, а b устремим к

бесконечности. Получим [pic]. Прибавим по единице в обе части равенств:

[pic]

(3).

Выражение [pic] является ограниченным, так как [pic], а функция [pic]

абсолютно интегрируема на промежутке [pic] при [pic], то есть при [pic],

[pic]. Значит, интеграл [pic] абсолютно сходится при [pic], причём

равномерно в любой конечной области, лежащей в комплексной плоскости справа

от прямой [pic]. Тем самым он определяет аналитическую функцию переменной

s, регулярную при [pic]. Поэтому правая часть равенства (3) представляет

собой аналитическое продолжение дзета-функции на полуплоскость [pic] и

имеет там лишь один простой полюс в точке [pic] с вычетом, равным единице.

Для [pic] можно преобразовать выражение (3) дзета-функции. При [pic]

имеем [pic], значит, [pic] и[pic]. Теперь при [pic] (3) может быть записано

в виде [pic].

Немного более сложными рассуждениями можно установить, что в

действительности (3) даёт аналитическое продолжение дзета-функции на

полуплоскость [pic]. Положим [pic], а [pic], то есть [pic] первообразная

для [pic]. [pic] ограничена, так как [pic], а интеграл [pic] [pic] и [pic]

[pic] ограничен из-за того, что [pic]. Рассмотрим интеграл [pic] при x1>x2

и [pic]. Проинтегрируем его по частям, приняв [pic], [pic], тогда [pic], а

по указанному выше утверждению [pic]. Получаем [pic] [pic]. Возьмём [pic],

а [pic]. Имеем [pic], [pic], потому что [pic] является ограниченной

функцией. Значит,

[pic]

(4).

Пользуясь абсолютной сходимостью интеграла [pic], если [pic], и

ограниченностью функции [pic], делаем вывод, что в левой части равенства

(4) интеграл тоже сходится при [pic]. Значит формулой (3) можно продолжить

дзета-функцию и на полуплоскость правее прямой [pic].

Нетрудно установить, что для отрицательных [pic] [pic], поэтому из (3)

имеем

[pic]

(5) при [pic].

Из теории рядов Фурье известно, что для нецелых значений x справедливо

разложение в ряд

[pic]

(6).

Подставим его в равенство (5) и проинтегрируем ряд почленно:

[pic]. Сделаем в полученном интеграле подстановку [pic], отсюда следует

[pic], а [pic], и получим далее [pic]. Известно, что [pic] [pic], значит

[pic] [pic]. Из известного соотношения для гамма-функции [pic], по формуле

дополнения [pic], следовательно [pic] [pic]

Итак, мы получили функциональное уравнение дзета-функции Римана

[pic]

(7),

которое само по себе может служить средством изучения этой функции, так как

вполне характеризует её, в том смысле, что любая другая функция [pic],

удовлетворяющая равенству (7), а также ещё некоторым естественным условиям,

тождественна с [pic].

Пока, правда, как следует из рассуждений, мы доказали формулу (7) для

[pic]. Однако правая часть этого равенства является аналитической функцией

s и при [pic]. Это показывает, что дзета-функция может быть аналитически

продолжена на всю комплексную плоскость, причём не имеет на ней никаких

особенностей, кроме упоминавшегося полюса при [pic].

Чтобы доказательство было строгим, мы должны ещё обосновать почленное

интегрирование. Поскольку ряд (6) сходится почти всюду и его частичные

суммы остаются ограниченными, почленное интегрирование на любом конечном

отрезке допустимо. Ввиду [pic] [pic] для любого [pic], остаётся доказать,

что [pic] [pic] при [pic]. Но интегрируя внутренний интеграл по частям

имеем [pic]

[pic]. Отсюда без труда получается наше утверждение.

Функциональное уравнение дзета-функции (7) может быть записано многими

способами. Например, заменим s на 1-s, получаем равносильное равенство

[pic]

(8). Из него можно получить два небольших следствия.

Подставим в (8) вместо s число 2m, где m – натуральное число. Имеем

[pic]. По формуле (4) первой главы [pic] [pic], а [pic], поэтому [pic] и

произведя в правой части все сокращения, учитывая, что [pic], получим

[pic].

Покажем ещё, что [pic]. Для этого прологарифмируем равенство (8):

[pic] [pic] и результат продифференцируем [pic] [pic]. В окрестности точки

s=1 [pic], [pic] [pic], [pic], где С – постоянная Эйлера, а k –

произвольная постоянная. Следовательно, устремляя s к единице, получим

[pic], то есть [pic]. Опять из формулы (4) главы 1 при k=0 [pic], значит,

действительно, [pic].

Глава 3.

Как уже было сказано, дзета-функция Римана широко применяется в

математическом анализе. Однако наиболее полно важность её выявляется в

теории чисел, где она оказывает неоценимую помощь в изучении распределения

простых чисел в натуральном ряду. К сожалению, рассказ о серьезных и

нетривиальных применениях дзета-функции Римана выходит за рамки этой

работы. Но чтобы хотя бы немного представить мощь этой функции, докажем с

её помощью несколько интересных утверждений.

Например, известно, что простых чисел бесконечно много. Самое

знаменитое элементарное доказательство принадлежит Евклиду. Оно состоит в

следующем. Предположим, что существует конечное число простых чисел,

обозначим их p1, p2, … , pn. Рассмотрим число p1p2…pn+1, оно не делится ни

на одно из простых и не совпадает ни с одним из них, то есть является

простым числом, отличным от вышеуказанных, что противоречит предположению.

Значит, количество простых чисел не может быть конечным.

Другое доказательство этого факта, использующее дзета-функцию, было

дано Эйлером. Рассмотрим данное в первой главе равенство (5) при s=1,

получим [pic], отсюда [pic] и ввиду расходимости гармонического ряда, имеем

при [pic]

[pic]

(1). Если бы количество простых чисел было

конечным, то и это произведение имело конечное значение. Однако, полученный

результат свидетельствует об обратном. Доказательство завершено.

Теперь перепишем (1) в виде [pic]. Опираясь на теорему о сходимости

бесконечного произведения, из расходимости предыдущего делаем вывод, что

ряд [pic] расходится. Это предложение даёт некоторую характеристику роста

простых чисел. Подчеркнём, что оно гораздо сильнее утверждения о

расходимости гармонического ряда, так как здесь речь идёт лишь о части его

членов, тем более что в натуральном ряде имеются сколь угодно длинные

промежутки без простых чисел, например: [pic], [pic], … , [pic].

Несмотря на свою простоту приведённые выше предложения важны в

концептуальном плане, так как они начинают череду исследований всё более и

более глубоких свойств ряда простых чисел, которая продолжается по сей

день. Первоначально, основной целью изучения дзета-функции как раз и было

исследование функции [pic], то есть количества простых чисел не

превосходящих x. В качестве примера формулы, связывающей [pic] и [pic], мы

сейчас получим равенство

[pic]

(2).

Сначала воспользуемся разложением дзета-функции в произведение: [pic].

Из логарифмического ряда [pic], учитывая, что [pic], приходим к ряду [pic]

[pic]. Значит, [pic].

Теперь вычислим интеграл в правой части (2). Так как при [pic] [pic],

то [pic]. Во внутреннем интеграле положим [pic], тогда [pic] и [pic],

отсюда [pic].В промежутке интегрирования [pic], поэтому верно разложение

[pic] и [pic] [pic]. Получаем [pic] [pic]. Теперь [pic] [pic] [pic]. Если

сравнить полученное значение интеграла с рядом для [pic], то увидим, что

они тождественны и равенство (2) доказано.

Используем формулу (2) для доказательства одной очень серьёзной и

важной теоремы, а именно получим асимптотический закон распределения

простых чисел, то есть покажем, что [pic].

В качестве исторической справки отмечу, что великий немецкий математик

Карл Фридрих Гаусс эмпирически установил эту закономерность ещё в

пятнадцатилетнем возрасте, когда ему подарили сборник математических

таблиц, содержащий таблицу простых чисел и таблицу натуральных логарифмов.

Для доказательства возьмём формулу (2) и попытаемся разрешить это

уравнение относительно [pic], то есть обратить интеграл. Сделаем это с

помощью формулы обращения Меллина следующим образом. Пусть [pic] [pic].

Тогда

[pic]

(3). Этот интеграл имеет нужную форму, а [pic] не повлияет

на асимптотику [pic]. Действительно, так как [pic], интеграл для [pic]

сходится равномерно в полуплоскости [pic], что легко обнаруживается

сравнением с интегралом [pic]. Следовательно, [pic] регулярна и ограничена

в полуплоскости [pic]. То же самое справедливо и относительно [pic], так

как [pic] [pic].

Мы могли бы уже применить формулу Меллина, но тогда было бы весьма

затруднительно выполнить интегрирование. Поэтому прежде преобразуем

равенство (3) следующим образом. Дифференцируя по s, получаем [pic].

Обозначим левую часть через [pic] и положим [pic], [pic], ([pic], [pic] и

[pic] полагаем равными нулю при [pic]). Тогда, интегрируя по частям,

находим [pic] при [pic], или [pic].

Но [pic] непрерывна и имеет ограниченную вариацию на любом конечном

интервале, а так как [pic], то [pic] ([pic]) и [pic] ([pic]).

Следовательно, [pic] абсолютно интегрируема на [pic] при [pic]. Поэтому

[pic] при [pic], или [pic] при [pic]. Интеграл в правой части абсолютно

сходится, так как [pic] ограниченна при [pic], вне некоторой окрестности

точки [pic]. В окрестности [pic] [pic] и можно положить [pic], где [pic]

ограниченна при [pic], [pic] и имеет логарифмический порядок при [pic].

Далее, [pic] [pic]. Первый член равен сумме вычетов в особых точках,

расположенных слева от прямой [pic], то есть [pic]. Во втором члене можно

положить [pic], так как [pic] имеет при [pic] лишь логарифмическую

особенность. Следовательно, [pic]. Последний интеграл стремится к нулю при

[pic]. Значит,

[pic]

(4).

Чтобы перейти обратно к [pic], используем следующую лемму.

Пусть [pic] положительна и не убывает и пусть при [pic] [pic]. Тогда

[pic].

Действительно, если [pic] - данное положительное число, то [pic] [pic]

([pic]). Отсюда получаем для любого [pic] [pic] [pic]. Но так как [pic] не

убывает, то [pic]. Следовательно, [pic]. Полагая, например, [pic], получаем

[pic].

Аналогично, рассматривая [pic], получаем [pic], значит [pic], что и

требовалось доказать.

Применяя лемму, из (4) имеем, что [pic], [pic], поэтому [pic] и

теорема доказана.

Для ознакомления с более глубокими результатами теории дзета-функции

Римана могу отослать заинтересованного читателя к прилагаемому списку

использованной литературы.

Список использованной литературы.

1. Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана. Череповец, 2000 г.

2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления,

том II. М.,1970 г.

3. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного.

М.,1999 г.

4. Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию

чисел. М.,1987 г.

5. Шафаревич З.А. Теория чисел. М.,1986г.