НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Алгебра и Начало анализа

Алгебра и Начало анализа

|Алгебра и начала анализа. |

|[pic]1. Линейная функция y = ax + b, её свойства и график. |Отве|

| |т |

|[pic]2. Квадратичная функция y = ax2 + bx + c, её свойства и |Отве|

|график. |т |

|[pic]3. Функция y = k/x, её свойства и график, график |Отве|

|дробно-линейной функции (на конкретном приме-ре). |т |

|[pic]4. Показательная функция y = ax, её свойства и график. |Отве|

| |т |

|[pic]5. Логарифмическая функция y = logax, её свойства и график. |Отве|

| |т |

|[pic]6. Функция y = sin(x), её свойства и график. |Отве|

| |т |

|[pic]7. Функция y = cos(x), её свойства и график. |Отве|

| |т |

|[pic]8. Функция y = tg(x), её свойства и график. |Отве|

| |т |

|[pic]9. Функция y = ctg(x), её свойства и график. |Отве|

| |т |

|[pic]10. Арифметическая прогрессия, сумма первых n членов |Отве|

|арифметической прогрессии. |т |

|[pic]11. Геометрическая прогрессия, сумма первых n членов |Отве|

|геометрической прогрессии. Сумма бесконечно убывающей |т |

|геометрической прогрессии. | |

|[pic]12. Решение уравнения sin(x) = a, неравенств sin(x) > a, |Отве|

|sin(x) < a. |т |

|[pic]13. Решение уравнения cos(x) = a, неравенств cos(x) > a, |Отве|

|cos(x) < a. |т |

|[pic]14. Решение уравнения tg(x) = a, неравенств tg(x) > a, tg(x) 0, то этот угол острый; если k < 0 - тупой;

если k = 0, то прямая совпадает с осью Ох.

5. График функции y = kx + b может быть постпоен с помощью параллельного

переноса графика функции y = kx.

[pic]

Ответ №2. Опр. Квадратичной функцией называется функция, которую можно

задать формулой вида y = ax2 + bx + c, где х - независимая переменная, а, b

и с - некоторые числа, причем а [pic]0.

Графиком квадратичной функции является парабола.

Свойства функции y = ax2(частный случай) при а > 0.

1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат.

2. Если х [pic]0, то y > 0. График функции расположен в верхней

полуплоскости.

3. График функции симметричен относительно оси Oy.

4. Функция убывает в промежутке (- [pic]; 0] и возрастает в промежутке [0;

+ [pic]).

5. Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений

функции [0; + [pic]).

Свойства функции y = ax2 при а < 0.

1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат.

2. Если х [pic]0, то y < 0. График функции расположен в нижней

полуплоскости.

3. График функции симметричен относительно оси Oy.

4. Функция убывает в промежутке [0; + [pic]) и возрастает в промежутке (-

[pic]; 0].

5. Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений

функции (- [pic]; 0].

И, так, график функции y = ax2 + bx + c есть парабола, вершиной которой

является точка (m; n), где m = [pic], n= [pic]. Осью симметрии параболы

служит прямая х = m, параллельная оси y. При а > 0 ветви параболы

направлены вверх, при a < 0 - вниз.

[pic]

Ответ 3

Если переменная у обратно пропорциональна переменной х, то эта зависимость

выражается формулой [pic], где [pic]- коэффициент обратной

пропорциональности.

1. Область определения функции [pic]- есть множество всех чисел, отличных

от нуля, т. е. [pic].

2. Графиком обратной пропорциональности у=k/x является кривая, состоящая

из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Такая

кривая называется гиперболой. Если k>0, то ветви гиперболы расположены

в I и III координатных четвертях; если же k1

а) область определения - множество всех действительных чисел;

б) множество значений - множество всех положительных чисел;

в) функция возрастает;

г) при х = 0 значение функции равно 1;

д) если х > 0, то ax > 1;

е) если х < 0, то 0< ax 0, то 0< ax 1.

[pic][pic]

№5.Опр. Функцию, заданную формулой y = loga x называют логарифмической

функцией с основанием а.

Свойства функции y = loga x при a>1:

а) D(f) = R+;

б) E(f) = R;

в) функция возрастает;

г) если x = 1, то loga x = 0;

д) если 0 1, то loga x > 0.

Свойства функции y = loga x при 0 0;

е) если x > 1, то loga x < 0.

[pic]

№6. Опр. Отношение катета прямоугольного треугольника, противолежащего

острому углу, к гипотенузе называется синусом этого угла (обозначается sin

[pic]).

1. область определения - множество всех действительных чисел;

2. множество значений - [-1; 1];

3. функция нечетная: sin(-x) = -sin(x) для всех [pic];

4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом [pic];

5. sin(x) = 0 при x = [pic];

6. sin(x) > 0 для всех [pic];

7. sin(x) < 0 для всех [pic];

8. функция возрастает на [pic];

9. функция убывает на [pic].

[pic]

№ 7.Опр. Отношение катета прямоугольного треугольника, прилежащего к

острому углу, к гипотенузе называется косинусом этого угла (обозначается

cos [pic])

1. область определения - множество всех действительных чисел;

2. множество значений - [-1; 1];

3. функция четная: cos(-x) = cos(x) для всех [pic];

4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом [pic];

5. cos(x) = 0 при [pic];

6. cos(x) > 0 для всех [pic];

7. cos(x) > 0 для всех [pic];

8. функция возрастает на [pic];

9. функция убывает на [pic]

[pic]

№8.Опр. Отношение катета, противолежащего острому углу прямоугольного

треугольника, к катету, прилежащему к этому углу, называется тангенсом

(обозначается tg [pic]).

1. область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел

вида[pic];

2. множество значений - вся числовая прямая;

3. функция нечетная: tg(-x) = -tg(x) для всех х из области определения;

4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом [pic];

5. tg(x) = 0 при х = [pic];

6. tg(x) > 0 для всех [pic];

7. tg(x) < 0 для всех [pic];

8. функция возрастает на [pic].

[pic]

№9.Опр. Отношение катета, прилежащего острому углу прямоугольного

треугольника, к катету, противолежащему к этому углу, называется

котангенсом (обозначается ctg [pic])

1. область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел

вида [pic];

2. множество значений - вся числовая прямая;

3. функция нечетная: ctg(-x) = -ctg(x) для всех х из области определения;

4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом [pic];

5. ctg(x) = 0 при x = [pic];

6. ctg(x) > 0 для всех [pic];

7. ctg(x) < 0 для всех [pic];

8. функция убывает на [pic].

[pic]

Ответ № 10

1. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго,

равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом,

называется арифметической прогрессией.

2. Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между

любым ее членом и ему предшествующим равна одному и тому же числу, т.

е. а2 - а1 = а3 - а2 = ... = ak - ak-1 = ... . Это число называется

разностью арифметической прогрессии и обычно обозначается буквой d.

3. Для того чтобы задать арифметическую прогрессию (аn), достаточно знать

ее первый член а1 и разность d.

4. Если разность арифметической прогрессии - положительное число, то

такая прогрессия является возрастающей; если отрицательное число, то

убывающей. Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все

ее члены равны между собой и прогрессия является постоянной

последовательностью.

5. Характеристическое свойство арифметической прогрессии.

Последовательность (аn) является арифметической прогрессией тогда и

только тогда, когда любой ее член, начиная со второго, является

средним арифметическим предшествующего и последующего членов, т. е.

[pic](1)

6. Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: an = a1 + d(n-

1). (2)

7. Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии имеет вид:

[pic](3)

8. Если в формулу (3) подставить вместо аn его выражение по формуле (2),

то получим соотношение [pic]

9. Из определения разности арифметической прогрессии следует, что a1 + an

= a2 + an-1 = ..., т. е. сумма членов, равноудаленных от концов

прогрессии, есть величина постоянная.

Ответ № 11

1. Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а

каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену,

умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется

геометрической прогрессией.

2. Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого

ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b2:b1 =

b3:b2 = ... = bn:bn-1 = bn+1:bn = ... . Это число называется

знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q.

3. Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию (bn), достаточно

знать ее первый член b1 и знаменатель q.

4. Если q > 0 ([pic]), то прогрессия является монотонной

последовательностью. Пусть, например, b1= -2, q = 3, тогда

геометрическая прогрессия -2, -6, -18, ... есть монотонно убывающая

последовательность. Если q = 1, то все члены прогрессии равны между

собой. В этом случае прогрессия является постоянной

последовательностью.

5. Характеристическое свойство геометрической прогрессии.

Последовательность (bn) является геометрической прогрессией тогда и

только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее

геометрическое соседних с ним членов, т. е. [pic](1)

6. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: [pic](2)

7. Формула суммы п первых членов геометрической прогрессии имеет вид:

[pic], [pic](3)

8. Если в формулу (3) подставить вместо bn его выражение по формуле (2),

то получится соот-ношение. [pic], [pic](4)

9. Из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что b1bn

= b2bn-1 = …, т.е. произведение членов, равноотстоящих от концов

прогрессии, есть величина постоянная.

Сумма бесконечной геометрической прогресси при [pic]

1. Пусть (xn) - геометрическая прогрессия со знаменателем q, где [pic]и

[pic]. Суммой бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель

которой удовлетворяет условию [pic], называется предел суммы n первых

ее членов при [pic].

2. Обозначим сумму бесконечной геометрической прогрессии через S. Тогда

верна формула [pic].

№ 12

Решение тригонометрических уравнений вида sin(x) = a

1. формула для корней уравнения sin(x) = a, где [pic], имеет вид: [pic]

Частные случаи:

2. sin(x) = 0, x = [pic]

3. sin(x) = 1, x = [pic]

4. sin(x) = -1, x = [pic]

5. формула для корней уравнения sin2(x) = a, где [pic], имеет вид: x=

[pic]

Решение тригонометрических неравенств вида sin(x) > a, sin(x) < a

1. Неравенства, содержащие переменную только под знаком

тригонометрической функции, называются тригонометрическими.

2. При решении тригонометрических неравенств используют свойство

монотонности триго-нометрических функций, а также промежутки их

знакопостоянства.

3. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида sin(x) > a

(sin(x) < а) используют единичную окружность или график функции y =

sin(x).

sin(x) = 0 если х = [pic];

sin(x) = -1, если x = [pic]>;

sin(x) > 0, если [pic];

sin(x) < 0, если [pic].

Ответ № 13

Решение тригонометрического уравнения cos(x) = a

1. Формула для корней уравнения cos(x) = a, где [pic], имеет вид: [pic].

2. Частные случаи:

cos(x) = 1, x = [pic];

cos(x) = 0, [pic];

cos(x) = -1, x = [pic]

3. Формула для корней уравнения cos2(x) = a, где [pic], имеет вид: [pic].

Решение тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) < a

1. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида cos(x) > a,

cos(x) < a используют единичную окружность или график функции y =

cos(x);

2. Важным моментом является знание, что:

cos(x) = 0, если [pic];

cos(x) = -1, если x = [pic];

cos(x) = 1, если x = [pic];

cos(x) > 0, если [pic];

cos(x) > 0, если [pic].

№ 14

Решение тригонометрического уравнения tg(x) = a

1. Формула для корней уравнения tg(x) = a имеет вид: [pic].

2. Частные случаи:

tg(x) = 0, x = [pic];

tg(x) = 1, [pic];

tg(x) = -1, [pic].

3. Формула для корней уравнения tg2(x) = a, где [pic], имеет вид: [pic]

Решение тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) < a

1. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида tg(x) > a,

tg(x) < a используют единичную окружность или график функции y =

tg(x).

2. Важно знать, что:

tg(x) > 0, если [pic];

tg(x) < 0, если [pic];

Тангенс не существует, если [pic].

№ 15

1. Формулами приведения называются соотношения, с помощью которых

значения тригонометрических функций аргументов [pic], [pic], [pic],

[pic], выражаются через значения sin [pic], cos [pic], tg [pic]и ctg

[pic].

2. Все формулы приведения можно свести в следующую таблицу:

|Функция|Аргумент [pic] |

|[pic] | |

|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] | |sin [pic] |cos

[pic] |cos [pic] |sin [pic] |-sin [pic] |-cos [pic] |-cos [pic] |-sin [pic]

|sin [pic] | |cos [pic] |sin [pic] |-sin [pic] |-cos[pic] |-cos[pic] |-

sin [pic] |sin [pic] |cos [pic] |cos [pic] | |tg [pic] |ctg [pic] |-ctg

[pic] |-tg [pic] |tg [pic] |ctg [pic] |-ctg [pic] |-tg [pic] |tg [pic] |

|ctg [pic] |tg [pic] |-tg [pic] |-ctg [pic] |ctg [pic] |tg [pic] |-tg [pic]

|-ctg [pic] |ctg [pic] | |Для облегчения запоминания приведенных формул

нужно использовать следующие правила:

1. a) при переходе от функций углов [pic], [pic]к функциям угла

[pic]название функции изменяют: синус на косинус, тангенс на котангенс

и наоборот;

при переходе от функций углов [pic], [pic]к функциям угла

[pic]название функции сохраняют;

б) считая [pic]острым углом (т. е. [pic]), перед функцией угла

[pic]ставят такой знак, какой имеет приводимая функ-ция углов [pic],

[pic], [pic].

Все вышеприведенные формулы можно получить, пользуясь следующим правилом:

Любая тригонометрическая функция угла 90°n + [pic]по абсолютной величине

равна той же функции угла [pic], если число n - четное, и дополнительной

функции, если число n - нечетное. При этом, если функция угла 90°n + [pic].

положительна, когда [pic]- острый угол, то знаки обеих функций одинаковы,

если отрицательна, то различны.

№ 16

1. Формулы косинуса суммы и разности двух аргументов:

[pic][pic]

Рис.1 Рис.2

Повернем радиус ОА, равный R, около точки О на угол [pic]и на угол

[pic](рис.1). Получим радиусы ОВ и ОС. Найдем скалярное произведение

векторов [pic]и [pic]. Пусть координаты точки В равны х1 и y1,

координаты точки С равны х2 и y2. Эти же координаты имеют

соответственно и векторы [pic]и [pic]. По определению скалярного

произведения векторов:

[pic][pic][pic]= х1х2 + y1y2. (1)

Выразим скалярное произведение [pic][pic][pic]через тригонометрические

функции углов [pic]и [pic]. Из определения косинуса и синуса следует,

что

х1 = R cos [pic], y1 = R sin [pic], х2 = R cos [pic], y2 = R sin

[pic].

Подставив значения х1, х2, y1, y2 в правую часть равенства (1),

получим:

[pic][pic][pic]= R2cos[pic] cos[pic] + R2sin[pic] sin[pic] =

R2(cos[pic] cos[pic] + sin[pic] sin[pic]).

С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторовимеем:

[pic][pic][pic]= [pic][pic]cos [pic]BOC = R2cos [pic]BOC.

Угол ВОС между векторами [pic]и [pic]может быть равен [pic]-

[pic](рис.1), [pic]- ([pic] - [pic]) (рис.2) либо может отличаться от

этих значений на целое число оборотов. В любом из этих случаев cos

[pic]BOC = cos ([pic] - [pic]). Поэтому

[pic][pic][pic]= R2 cos ([pic] - [pic]).

Т.к. [pic][pic][pic]равно также R2(cos[pic] cos[pic] + sin[pic]

sin[pic]), то

cos([pic] - [pic]) = cos[pic] cos[pic] + sin[pic] sin[pic].

cos([pic] + [pic]) = cos([pic] - (-[pic])) = cos[pic] cos(-[pic]) +

sin[pic] sin(-[pic]) = cos[pic] cos[pic] - sin[pic] sin[pic].

Значит,

cos([pic] + [pic]) = cos[pic] cos[pic] - sin[pic] sin[pic].

2. Формулы синуса суммы и разности двух аргументов:

sin([pic] + [pic]) = cos( [pic]/2 - ([pic] + [pic])) = cos(( [pic]/2 -

[pic]) - [pic]) = cos( [pic]/2 - [pic]) cos[pic] + sin( [pic]/2 -

[pic]) sin[pic] = sin[pic] cos[pic] + cos[pic] sin[pic].

Значит,

sin([pic] + [pic]) = sin[pic] cos[pic] + cos[pic] sin[pic].

sin([pic] - [pic]) = sin([pic] + (-[pic])) = sin[pic] cos(-[pic]) +

cos[pic] sin(-[pic]) = sin[pic] cos[pic] - cos[pic] sin[pic].

Значит,

sin([pic] - [pic]) = sin[pic] cos[pic] - cos[pic] sin[pic].

№ 17

Формулы двойных углов

Формулы сложения позволяют выразить sin 2[pic], cos 2[pic], tg 2[pic], ctg

2[pic] через тригонометрические функции угла [pic].

Положим в формулах

sin([pic] + [pic]) = sin[pic] cos[pic] + cos[pic] sin[pic] ,

cos([pic] + [pic]) = cos[pic] cos[pic] - sin[pic] sin[pic] ,

[pic],

[pic].

[pic]равным [pic]. Получим тождества:

sin 2[pic] = 2 sin [pic]cos [pic];

cos 2[pic] = cos2 [pic]- sin2 [pic]= 1 - sin2 [pic]= 2 cos2 [pic]- 1;

[pic]; [pic].

№ 18

Формулы половинного аргумента

1. Выразив правую часть формулы cos 2[pic] = cos2 [pic]- sin2 [pic]через

одну тригонометрическую функцию (синус или косинус), придем к

соотношениям

cos 2[pic] = 1 - sin2 [pic], cos 2[pic] = 2 cos2 [pic]- 1.

Если в данных соотношениях положить [pic]= [pic]/2, то получим:

cos [pic]= 1 - 2 sin2 [pic]/2, cos 2[pic] = 2 cos2 [pic]/2 - 1. (1)

2. Из формул (1) следует, что

[pic] (2), [pic] (3).

3. Разделив почленно равенство (2) на равенство (3), получим

[pic] (4).

4. В формулах (2), (3) и (4) знак перед радикалом зависит от того, в

какой координатной четверти находится угол [pic]/2.

5. Полезно знать следующую формулу:

[pic].

№ 19

Формулы суммы и разности синусов, косинусов

Сумму и разность синусов или косинусов можно представить в виде

произведения тригонометрических функций. Формулы, на которых основано такое

преобразование, могут быть получены из формул сложения.

Чтобы представить в виде произведения сумму sin [pic]+ sin [pic],

положим [pic]= x + y и [pic]= x - y и воспользуемся формулами синуса суммы

и синуса разности. Получим:

sin [pic]+ sin [pic]= sin (x + y) + sin (x - y) = sinx cosy + cosx siny +

sinx cosy - cosx siny = 2sinx cosy.

Решив теперь систему уравнений [pic]= x + y, [pic]= x - y относительно x

и y, получим х = [pic], y = [pic].

Следовательно,

sin [pic]+ sin [pic]= 2 sin[pic] cos[pic] .

Аналогичным образом выводят формулы:

sin [pic]-sin [pic]= 2 cos[pic] sin [pic];

cos [pic]+ cos [pic]= 2 cos[pic] cos[pic] ;

cos [pic]+ cos [pic]= -2 sin[pic] sin [pic].

№ 20

Чтобы найти решение приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0, где

[pic], достаточно перенести свободный член в правую часть и к обеем частям

равенства прибавить [pic]. Тогда левая часть станет полным квадратом, и мы

получаем равносильное уравнение [pic]= [pic]- q .

Оно отличается от простейшего уравнения x2 = m только внешним видом:

[pic]стоит вместо x и [pic]- q - вместо m. Находим [pic]= [pic]. Отсюба х =

- [pic][pic]. Эта формула показывает, что всякое квадратное уравнение имеет

два корня. Но эти корни могут быть и мнимыми, если [pic]< q . Может также

оказаться, что оба корня квадратного уравнения равны между собой, если

[pic]= q . Возращаемся к обычному виду [pic].

1. Сумма корней приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0 равна

второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение

корней равно свободному члену, т.е. х1 + х2 = -р, а х1х2 = q .

2. Теорема, обратная теореме Виета. Если р, q, х1, х2 таковы, что х1 + х2 =

-р и х1х2 = q , то х1 и х2 - корни уравнения x2 + px + q = 0.

№ 21

Опр. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в

которую нужно возвести основание а, чтобыполучить число b.

Формулу [pic](где b > 0, a > 0 и a [pic]1) называют основным

логарифмическим тождеством.

Свойства логарифмов:

1. [pic];

2. [pic];

3. Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:

[pic].

Для доказательства воспользуемся основным логарифмическим тождеством:

x = [pic], y = [pic].

Перемножим почленно эти равенства, получаем:

xy = [pic][pic][pic]= [pic].

Следовательно, по определению логарифма (п.3) доказан.

4. Логарифм частного равен логарифму делимого без логарифма делителя:

[pic].

Ход доказательства аналогичен доказательству п.3

5. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее

основания:

[pic].

При доказательстве, также необходимо воспользоваться основным

логарифмическим тождеством.

№ 22

1. Производной функции f(x) в точке х0 называется предел отношения

приращения [pic]функции в точке х0 к приращению [pic]аргумента, когда

последнее стремится к нулю. Это можно записать так: [pic].

2. Из определения производной следует, что функция может иметь

производную в точке х0 только в том случае, если она определена в

некоторой окрестности точки х0, включая эту точку.

3. Необходимым условием существования производной функции в данной точке

является непрерывность функции в этой точке.

4. Существование производной функции f в точке х0 эквивалентно

существованию (невертикальной) касательной в точке (х0 ; f(х0))

графика, при этом угловой коэффициент касательной равен [pic]. В этом

состоит геометрический смысл производной.

5. Механический смысл производной f '(x) функции у = f(x) - это скорость

изменения функции в точке х. Поэтому при решении прикладных задач

следует помнить, что какой бы процесс ни описывался изучаемой функцией

у = f(x) производную с физической точки зрения можно представить как

скорость, с которой протекает процесс.

№ 23

1. Производная суммы равна сумме производных, если они существуют:

[pic].

2. Если функция u и v дифференцируемы в точке х0 то их производные

дифференцируемы в этой точке и

[pic].

3. Если функция u и v дифференцируемы в точке х0, а С - постоянная, то

функция Cu дифференцируема в этой точке и

[pic].

4. Если функция u и v дифференцируемы в точке х0 и функция v не равна

нулю в этой точке, то частное двух функций тоже дифференцируемо в

точке х0 и

[pic].